12.4. Виртуальные частицы.

Завершая нашу дискуссию теории с парным взаимодействием, изучим распределение виртуальных частиц. Имея в виду эту цель, необходимо найти связь между операторами рождающими виртуальные частицы, и операторами которыми мы пользовались до сих пор. Эта связь легко устанавливается из сопоставления (8.18) и (12.3). Пользуясь нашими матричными обозначениями, мы находим (в нашем стандартном представлении , что в отсутствие связанного состояния

Заметим, что оператор уничтожения виртуальной частицы представляет собой смесь операторов уничтожения и рождения реальных частиц. Это типично релятивистский эффект; в нерелятивистском пределе и оператор числа квантов . Это означает отсутствие виртуальных квантов, окружающих источник. В релятивистской теории, напротив, мы имеем облако виртуальных частиц даже для основного состояния .

Распределение виртуальных частиц легче всего получить, обращаясь для сравнения к одномерному аналогу, который уже помог нам в этом смысле в случае линейной связи. Для нашей настоящей модели таким аналогом является простой гармонический осциллятор, частота которого изменяется от до Первая из этих

частот соответствует отсутствию источника и операторам , тогда как вторая представляет энергию в присутствии источника. Из (2.3) и (2.4) мы находим, что величины, соответствующие (12.18), становятся равными

Из (12.17) и эрмитово сопряженного равенства получаем

В одномерном случае и представляет собой число, тогда как в теории с парным взаимодействием М—матрица. Чтобы разложить собственные состояния гамильтониана, включающего член по собственным состояниям гамильтониана без , мы используем (12.20) и, произведя обычные преобразования, получаем

По индукции

Величина определяется условием Аналогичный метод применим и в том случае, когда М — матрица в -пространстве. Тогда (12.21) и (12.22) показывают, что виртуальные частицы рождаются только в парах!) и, следовательно, что вероятность обнаружения нечетного числа виртуальных частиц равна нулю. Простейший член имеет вид

К сожалению, явное вычисление М, т. е. аналитическое обращение чрезвычайно громоздко, и мы не будем останавливаться на нем

Как и следовало ожидать, волновая функция виртуальной пары М убывает экспоненциально с расстоянием в обычном пространстве и концентрируется около на расстоянии

Чтобы получить выражения, более доступные для толкования, вернемся к вычислению средних значений наблюдаемых величин в основном состоянии. Из (12.17) мы сразу находим, что это также непосредственно вытекает из инвариантности гамильтониана относительно замены Более поучительными оказываются билинейные комбинации, такие, как среднее число виртуальных частиц

С помощью (12.18) и (11.22) последнее выражение можно переписать следующим образом:

Используя явное выражение для R [см. уравнение (11.23)], находим, что

Таким образом, вероятность обнаружения одной пары (или более) по сути дела равна

что весьма близко к результату в случае линейной связи,

за исключением того, что теперь частицы не независимы, а испускаются парами. Амплитуда вероятности обнаружения возбужденного поля равна по порядку величины или

Из (12.16) видно, что эта амплитуда приближенно равна т. е. точно совпадает с суммой амплитуд вероятностей возбуждения

различных типов нормальных колебаний. Для нашего аналога отдельного осциллятора мы находим

Но в этом случае энергия виртуальных пар не связана простым образом с какой-либо теоремой вириала. Формально, однако, из (12.12) и (11.1) вытекает, что в теории с парным взаимодействием

и представляется, что обусловлена только изменениями энергии нулевых колебаний.

Вероятность обнаружения виртуальных пар для источника с гауссовским распределением при ширине равна по порядку величины . Только глубокий потенциал (большая ) с резкими границами будет давать виртуальные частицы в заметном числе. В случае кулоновского потенциала лишь крутая его часть в области играет эффективную роль в порождении пар. Заменяя его приближенно в этой области потенциалом нашего типа , находим, что вероятность обнаружения виртуальных пар . Виртуальные электронно-позитронные пары в кулоновском поле действительно приводят к измеримому эффекту „поляризации вакуума", поскольку они имеют заряды и изменяют кулоновское поле в области приблизительно на 1 %. Современная экспериментальная техника позволяет измерить эти тонкие эффекты с замечательной точностью [7].

Рекомендуемая литература

(см. скан)