8.3. Матрица рассеяния и волновая матрица.

Мы показали, что применение понятия частицы в случае связанных полей требует некоторых уточнений. В следующей ниже сводке собраны различные наборы ортогональных состояний, связанные с различными сортами частиц.

При некоторых условиях состояния не образуют полного набора (напрнмер, когда сила источника достаточна для образования связанных состояний). В этом случае, чтобы получить полный набор, следует добавить к состояниям связанные состояния. Мы подробно обсудим этот вопрос в соответствующем месте, а пока в дальнейшем изложении будем считать все наборы полными, При этом условии они связаны друг с другом через унитарные матрицы. Элементы этих матриц можно определить как

скалярные произведения между состояниями различных наборов. Равным образом, они могут быть определены как элементы матрицы, которая преобразует операторы, соответствующие одному набору, в операторы, соответствующие другому. Например, связь между состояниями «in» и «out» устанавливается с помощью так называемой «S-матрицы» или матрицы рассеяния, которая играет фундаментальную роль в современной теории поля. Ее можно определить как унитарную матрицу, преобразующую в

Существование такой матрицы вытекает из обычного соображения о том, что удовлетворяют одинаковым перестановочным соотношениям. Далее, они одинаковым образом зависят от времени, так что -матрица от времени не зависит. Из (8.22) мы заключаем, что

следовательно, эквивалентное определение -матрицы есть

Одно из важных свойств S-матрицы заключается в ее связи с сечением рассеяния, которая устанавливается ниже. Для систем, в которых энергия сохраняется, -матрица связывает лишь состояния с равной энергией. Удобно записать матричный элемент между начальным состоянием с энергией и конечным состоянием с энергией в виде

Из этого соотношения мы находим, что вероятность образования конечного состояния из начального состояния равна

Грубый способ избавиться от неудобной величины заключается в том, чтобы связать ее с бесконечным временем взаимодействия в состояниях с определенной энергией. Множитель возникает

никает из выражения и мы поэтому можем записать, что

Определяя вероятность перехода в единицу времени как

получаем следующее золотое правило:

Полную вероятность перехода из начального состояния можно записать в виде

где последнее равенство следует из свойств (8.22), так как

Эти формальные выражения можно проанализировать более детально, обращаясь к диагонализации -матрицы. Практически это достигается путем определения достаточного числа интегралов движения, собственные состояния которые являются одновременно собственными состояниями S. Мы определим оператор проектирования на собственные состояния S (обозначенные через А), рассматривая энергию отдельно:

и запишем

Подставляя последнее равенство в (8.28), находим, учитывая, что

где — фазовый сдвиг при энергии . Изложенный формализм сильно упрощается в случае сферически симметричного источника при условии, что на одну падающую частицу приходится одна уходящая. В этом случае S оказывается диагональной в представлении углового момента, а оказывается единственной непрерывной переменной:

или в терминах операторов рождения

В этом случае мы получаем

Далее, если использовать нормировочный объем и релятивистскую кинематику , то

и

Подставляя эти выражения в (8.31) и учитывая, что

мы находим

Чтобы получить обычное выражение для сечения рассеяния, необходимо разделить последнее выражение на падающий поток, т. е. на число частиц, падающих в единицу времени на единичную площадку, нормальную к направлению движения :

В тех случаях, когда имеет место рождение частиц, собственные состояния S характеризуются в дополнение к энергии другими непрерывными переменными. Тогда (8.34) необходимо модифицировать, но (8.27) и (8.28) по-прежнему остаются справедливыми.

В то время как -матрица содержит информацию, соответствующую элементарному фазовому анализу, матрица, связывающая состояния с голыми состояниями, соответствует так называемой волновой матрице элементарной квантовой механики. Последняя содержит информацию относительно детального вида волновой функции вблизи источника. В теории поля она позволяет получить ответ на вопрос о распределении виртуальных частиц в физических состояниях. Хотя такие задачи в значительной степени представляют чисто академический интерес, однако они поучительны и будут рассматриваться в следующих главах. Более того, мы увидим, что существуют важные соотношения между -матрицей и волновой матрицей.