Глава 3. СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

3.1. Собственные значения гамильтониана.

Чтобы подойти к постановке задачи в квантовой теории поля, мы рассмотрим теперь систему связанных осцилляторов с точки зрения квантовой механики. Задача, которую мы будем решать, представляет собой обобщение случая, рассмотренного в гл. 1 (фиг. 1.1), а именно: осцилляторы, расположенные на замкнутой цепочке, будут связаны теперь не только со своими соседями, но также и со своим положением равновесия. Гамильтониан и уравнения движения такой системы можно записать через обобщенные координаты и импульсы

ссли положить здесь вторую независимую частоту равной нулю мы вновь вернемся к гамильтониану (1.2). Как выяснится в дальнейшем, в пределе непрерывной линии осцилляторов, гамильтониан (1.2) соответствует случаю поля без массы покоя, тогда как (3.1) соответствует полю с „массой" . Как и 8 гл. 2, мы должны теперь выписать перестановочные соотношения, которые, согласно общим правилам квантовой механики, имеют вид

Чтобы определить собственные значения Н, целесообразно использовать новые переменные, определенные в гл. 1 и 2, и в первую очередь ввести, например, нормальные координаты (1.3):

В этих переменных перестановочные соотношения, получаемые с помощью (1.5), имеют вид

Поскольку эрмитовы операторы необходимо следующим образом обобщить условия (1.4):

Подставляя новые переменные в гамильтониан, находим

Иначе говоря, в нормальных координатах наши осцилляторы оказываются независимыми; в согласии с (3.5) мы вводим (как и в гл. 2) переменные

или

Заметим, что и что мы снова имеем независимых операторов , где . Перестановочные соотношения для следуют непосредственно из (3.4) и (3.7):

Гамильтониан записывается как сумма членов вида (2.6):

и заключения относительно его собственных значений и собственных векторов можно вывести точно таким же путем как и в предыдущей главе.

Состояние наинизшей энергии определяется условием

для всех s. Ему соответствует собственное значение

В общем случае собственное значение дается равенством

где пробегает ряд из N неотрицательных целых чисел. Собственный вектор, принадлежащий собственному значению (3.13), представляет собой обобщение (2.11):

Тот факт, что собственные значения энергии оказались целыми числами, помноженными на частоты основных колебаний, уже сам по себе приводит к мысли о корпускулярной интерпретации теории. Состояние (3.14) обладает свойствами состояния, в котором частиц имеют энергию частиц — энергию и т. д. Далее, когда мы рассмотрим локализованные в пространстве величины, например энергию или импульс, содержащиеся в определенном объеме, станет очевидно, что корпускулярные свойства системы в действительности значительно обширнее, чем мы их представляем себе в настоящий момент. Поскольку наша система представляет собой упругие (звуковые) волны, получающиеся кванты называют обычно фононами. Энергия этих квантов аддитивна, так что они ведут себя как невзаимодействующие частицы. Далее, состояние характеризуется лишь числом частиц в каждом из N типов колебаний с энергиями так что частицы, принадлежащие к одному и тому же типу, не отличаются друг от друга. Каждый вид колебаний может содержать произвольное число частиц. В силу изложенного частицы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, и мы имеем дело с моделью неразличимых частиц. Оказывается, что эти частицы гораздо больше похожи на колебания, чем на классические тела, а два любых колебания не могут быть различимы, если их частоты совпадают. Утрата частицами индивидуальности представляет собой одно из наиболее революционных последствий применения квантовой теориек рассмотрению полей. Мы не будем подробно останавливаться на этой стороне вопроса, поскольку он обсуждается в большинстве книг по элементарной квантовой механике. Соответствие между элементарными возбуждениями упругого тела и идеальным бозе-газом служит основой теории теплот

емкости твердых тел при низких температурах. При этом обычно предполагается очевидным, что каждому движению с частотой а» соответствует энергия Однако, как мы убедились, необходимо некоторое математическое исследование, чтобы вывести этот результат из исходных принципов. Наше предположение о чисто гармоническом характере сил не всегда, конечно, хорошо соответствует реальной действительности, но существует ряд систем, обладающих существенными чертами бозе-газа.