20.2. Амплитуды рождения.

Обратимся сначала к процессу фоторождения мезонов, т. е. к реакции типа . В этом

процессе участвует не только -мезон-нуклонная система, но и поле излучения. Для его правильной трактовки следует проанализировать гамильтониан

где - гамильтониан свободных фотонов, а гамильтониан взаимодействия фотонов с заряженными частицами.

Мы не будем входить в детали квантования поля излучения и приведем лишь соответствующие основные факты. Свободный гамильтониан описывает свободные фотоны — частицы без массы, спин которых равен единице, но -компонента спина может быть направлена либо параллельно, либо антипараллельно их импульсу. В разложении по угловым моментам, как оказалось, отсутствуют одночастичные состояния с угловым моментом, равным нулю. Для они могут иметь любую четность. Фотоны с четностью называют электрическими фотонами с мультипольностью I, когда же четность их равна их называют магнитными фотонами с мультипольностью I. Гамильтониан взаимодействия имеет вид

где вектор-потенциал построен обычным образом из операторов рождения и поглощения фотонов.

Наша цель состоит в том, чтобы найти вероятность перехода из начального состояния в конечное Мы вычислим ее с помощью золотого правила (8.27) Ситуация упрощается вследствие того, что взаимодействие слабое, и поэтому при расчете по теории возмущений в разложении по степеням можно заменить на соответствующий матричный элемент от В соответствии с этим получаем

Здесь предполагалось, что начальный фотон имеет импульс к. вектор поляризации и что его волновая функция нормирована на

одну частицу в единичном объеме, так что

В первую очередь выведем интегральное уравнение для матричного элемента от фурье-компоненты полного тока . С помощью (19.1) мы получим соотношение, подобное уравнению Лоу:

Среднее, значение в однонуклонном состоянии можно легко вычислить с помощью рассмотренного ранее выражения для j. Используя соотношение

мы находим для коммутаторов:

Чтобы определить среднее значение суммы выписанных коммутаторов в однонуклонном состоянии, можно воспользоваться уравне нием (19.3). Тогда

Соответствующий матричный элемент тока j равен [см. (20.10) при ]

Если принять, что энергия мезона (как предписывает закон сохранения энергии), воспользоваться (19.1) и учесть, что из условия вытекает к то для амплитуды фоторождения получается следующее выражение:

Взяв значения магнйтных моментов из эксперимента, мы снова находим, что однонуклонные члены совпадают с перенормированным борновским

приближением. Смысл отдельных членов в уравнении (20.18) следующий. Первый член в правой части существует только для заряженных мезонов и соответствует поглощению фотона мезоном — как и при обычном фотоэффекте. Он состоит из двух частей, из которых первая связана с током j (пропорциональна к) и соответствует поглощению фотона мезоном из нуклонного облака, а вторая обусловлена током (пропорциональна а) и соответствует поглощению фотона мезоном в процессе рождения.

Фиг. 20.1. Диаграммы, связанные при изображении фоторождення заряженных мезонов со следующими членами в матричном элементе:

Оба эти вклада показаны графически на фиг. 20.1. При процессе на фиг. 20.1, мезоны рождаются - в основном в -состоянии, в то время как процесс, изображенный на фиг. 20.1, с, содержит все угловые моменты, связанные с запаздывающим знаменателем Последний эффект возникает из-за того, что пространственная протяженность см) не мала по сравнению с длиной волны фотона, имеющего энергию, достаточную для рождения реального мезона, так что разложение по степеням отношения первой этих величин ко второй сходилось бы довольно медленно. Члены, пропорциональные магнитным моментам, соответствуют поглощению мезона магнитным моментом нуклона, сопровождающемуся испусканием мезона, как это показано на фиг. 20.2. Это единственные члены, которые приводят также и к рождению нейтральных -мезонов. Можно было бы ожидать, что эти члены имеют порядок по сравнению с теми, что изображены

на фиг. 20.1; однако, поскольку , они могут оказаться сравнимыми с остальными.

Члены, содержащиеся в соответствуют многократным столкновениям уже рожденных мезонов. Их вычисление представляет собой сложную, но разрешимую задачу [4]. К счастью, основную поправку, связанную с многократным рассеянием, можно найти и не решая интегрального уравнения (20.18) для амплитуды рождения. В соответствии с нашими сведениями относительно -рассеяния, мы ожидаем, что многократное рассеяние приведет к возрастанию амплитуды в 3-м состоянии и уменьшению амплитуды в других состояниях. Далее, оказывается, что эти поправки приводят в основном к изменению членов, обусловленных магнитным моментом нуклона (фиг. 20.2), и мало влияют на члены, обусловленные фотоэлектрическими эффектами (фиг. 20,1). Причина этого заключается в том, что при процессе, изображенном на фиг. 20.1, а, фотон поглощается мезоном, находящимся на довольно большом расстоянии от источника (в облаке). Такой мезон имеет поэтому значительную вероятность быть испущенным без дальнейших взаимодействий. Что же касается процесса на фиг. 20.1, б, то здесь рождаются мезоны в -состоянии, испускаемые затем без всякого взаимодействия. С другой стороны, члены, соответствующие диаграмме на фиг. 20.2, существенно меняются из-за поправок высших порядков по . Их можно вычислить, если ввести ток , зависящий только от операторов них (но не от мезонных операторов),

где

Согласно определению этого тока, мы имеем

Следовательно, если коммутатор первого члена с мезонным оператором поглощения остается равным (20.15), и в то же время не вносит вклада в члены, связанные с магнитными

моментами (20.17). Иными словами, амплитуда, обусловленная эти частью тока, удовлетворяет следующему интегральному уравнению

Уравнение (20.19) совпадает с (20.18) с той разницей, что в нем отсутствуют члены, содержащие магнитные моменты.

Фиг. 20.2. Диаграммы, соответствующие фоторожденню нейтральных и заряженных мезонов вследствие взаимодействия фотона с магнитным моментом нуклона.

Мы уже выяснили, что поправки, связанные с многократным рассеянием, несущественны для членов уравнения (20.19), поэтому сохранение только борцовского приближения должно быть достаточно удовлетворительным. Возвращаясь к току j, мы в первую очередь замечаем, что матричные элементы

можно непосредственно выразить через амплитуды рассеяния, поскольку они включают лишь матричные элементы между нуклонным состоянием состоянием нуклон + -мезон. Чтобы сделать это явным образом, можно воспользоваться разложением по

собственным состояниям углового момента. и изоспина с помощью операторов проектирования. При этом матричный элемент перехода в 3/2, 3/2-состояние будет сравним с (20.19), в то время как остальные члены останутся малыми. С помощью (18.6) можно выразить матричный элемент

через амплитуды рассеяния. Проще всего это делается в представлении через плоские волны. При этом следует брать операторы проектирования в виде (19.5 а) и заменить множитель в (18.25), характеризующий плотность состояний, на

Из этого соотношения сразу получаем, что

Найденная величина равна члену ПБП из уравнения (20.18), умноженному на отношение истинной амплитуды рассеяния к амплитуде ПБП. Рассматривая мы убеждаемся, что его матричные элементы несущественны по сравнению с вычисленными нами раньше главными членами, а именно с (20.19) и (20.19 а). Это частично обусловлено тем, что не может приводить к конечному 3/2-состоянию, а частично тем, что . Поэтому в дальнейшем мы опустим величину . Поскольку (20.19 а) представляет собой тогда единственный член, ответственный за рождение -мезонов,

мы можем связать сечение рождения -мезона непосредственно с -мезонным рассеянием:

В итоге получается следующее хорошее приближение для довольно сложной амплитуды рождения: