18.7. Приближенное решение уравнения Лоу.

Определив величину из эксперимента, хотелось бы попытаться найти фазы , не привлекая дополнительных экспериментальных данных. Однако это можно осуществить, лишь привлекая известные эмпирические факты. Прежде всего, как известно, в области применимости нашей модели рассеяние в основном носит упругий характер. Эти справедливо, грубо говоря, для , но мы предположим, что рассеяние остается упругим при всех энергиях. При этом фазовые сдвиги становятся вещественными и можно записать

Это приближение равносильно учету в сумме по промежуточным состояниям только безмезонных и одномезонных промежуточных состояний. В этом случае, как и при решений соответствующей задачи в модели Ли, полезно ввести функции, обратные А,

Поскольку не имеет нулей для комплексных а величина остается конечной при функция g является аналитической функцией в комплексной плоскости везде, за исключением разрезов вдоль вещественной оси до и от —1 до . Множители в (18.44) подобраны таким образом, что

и, следовательно, по аналогии с (18.16) g можно записать как

Вещественные весовые функции и соответствуют мнимым частям g на положительной и отрицательной вещественных полуосях. Используя (18.37), т. е. условие легко получаем из (18.45 а), что

Далее, из (18.38) находим в одномезонном приближении

и получаем таким образом не зная . С другой стороны, чтобы определить нужно знать фазовые сдвиги в нефизической области. Их можно найти из условий перекрестной симметрии (18.37), которые записываются для функций в виде

Как и для матрицы собственные значения равны

Уравнение (18.47) определяет лишь ; для того же, чтобы определить необходимо знать также и

которую невозможно получить простым образом. Поэтому даже в одномезонном приближении, оказывается невозможным найти точное решение Чу и Лоу [8] предложили, однако, некоторое приближенное решение, для которого матрица В заменяется матрицей

которая отличается от В незначительным численным сдвигом и так же удовлетворяет условиям

В этом приближении задача становится разрешимой относительно , но все еще не для . Из (18.47) находим

поэтому (18.456) означает, что

Не существует ясных математических аргументов, доказывающих обоснованность выражений (18.48). Однако используя эмпирические фазовые сдвиги, можно показать, что члены, которые были отброшены, по крайней мере не велики по сравнению с оставленными. Поэтому в пределах нашей грубой модели эти результаты могут служить приемлемой иллюстрацией, хотя получающиеся числа не следует принимать слишком серьезно. Мы находим:

и, следовательно, разложение по степеням дает (при низких энергиях)

Форма амплитуды рассеяния знакома нам из парной теории с отталкиванием и из -рассеяния в модели Ли, а форма сходна с амплитудой рассеяния в случае притяжения в парной теории или при -рассеянии в модели Ли. Вид этой функции предсказывает резонанс в состоянии 3/2, 3/2 для достаточно сильной связи, что и наблюдается на эксперименте. Чтобы получить некоторое представление о резонансной энергии, вычислим эффективные радиусы предсказываемые (18.52). Тогда радиус можно найти из условия которое следует из перекрестной симметрии (18.37) в применении к (18.41 а). Таким путем мы получаем

Другое приближение, несколько отличное от рассмотренного (т. е. от приближения, получающегося при замене В на В'), состоит в том, что в уравнениях Лоу (18.40) - оставляют только величину . Мы покажем вскоре, что в этом случае значение приблизительно совпадает с (18.53), но а не основная неопределенность, как мы видим, получается для радиуса . В обоих приближениях величины и относительные знаки оказываются приблизительно одинаковыми. Если предположить, что приближение эффективного радиуса все еще в какой-то мере справедливо при резонансной энергии , то получается . В случае прямоугольного обрезания, когда

мы находим

При использовании (18.42) экспериментальное значение дает . Интересно отметить, что , точно совпадает с энергией -уровня в пределе сильной связи, которая задается формулой (17.64):

Если теперь принять во внимание, что, согласно приближению то мы найдем, что Ширина уровня равна

Ширина Г не зависит от обрезания для не слишком близких к и имеет ту же форму, что и в случае классического решения (16.32). Характер сечения в окрестности резонансной энергии имеет обычный вид, рассмотренный в гл. 15.