13.6. Фазовый сдвиг.

В заключение этой главы рассмотрим рассеяние в. системе Для этого необходимо связать Предыдущие рассуждения можно было бы повторить и исходя из которое совпадает с

Следовательно,

Как и в теории с парным взаимодействием, для сферического источника лишь части соответствующие угловому моменту, равному нулю отличаются на фазовый сдвиг

и по аналогии с (11.31) — (11.38) мы находим, что

где

Для и для мы имеем как и в парной теории при наличии связанного состояния. Если этот резонанс переходит от отрицательных энергий к положительным, величина становится положительной, подобно случаю слабого потенциала притяжения. В этом случае нейтрон становится неустойчивым, а время жизни его равно Время жизни определяется формулой (12.9 а) и мы находим, что

причем

Как и следовало ожидать по аналогии с парной теорией, перенормированную константу связи можно определить так, чтобы при фазовый сдвиг задавался борновским приближением с перенормированной константой связи. Тогда

где

причем

Последнее выражение имеет те же свойства, что и аналогичное уравнение в парной теории. В нашем варианте теории трудности с расходимостями отсутствуют даже в случае точечного источника, поскольку при высоких энергиях величина w пропорциональна Конечно, нерелятивистское выражение для энергии не имеет смысла при очень высоких энергиях. При релятивистском рассмотрении мезонов (согласно уравнению Клейна — Гордона) (13.35) заменяется на

Интеграл в знаменателе расходится в этом случае при больших импульсах для точечного источника, так что сечение рассеяния обращается в нуль при малых k. Использование перенормированной константы связи приводит к появлению лишней степени [или , если используется (13.37)] в интеграле (13.36), так что даже для точечного источника сечение остается конечным в пределе малых импульсов. В этом случае, однако, возникают трудности, которые могут также появиться и в нашем нерелятивистском варианте. Именно, из (13.35) мы находим, что

следовательно, для достаточно малого (в обычном пространстве) источника и конечного (возможно — большого) значения величина становится отрицательной, a g — мнимой (в релятивистской теории в пределе точечного источника ). Это эквивалентно неэрмитовости гамильтониана (13.3). Далее, величина Z, выраженная через также оказывается отрицательной, что означает отрицательную вероятность обнаружения голого нейтрона в состоянии физического

нейтрона. Для формулировки такой теории [4] требуется введение индефинитной метрики в гильбертовом пространстве, что выходит за рамки нашего обсуждения. В теории с обрезанием трудности не возникают до тех пор, пока размеры источника ограничивают значения в пределах .

Формально мы находим из (13.33), что предел сечения при высоких энергиях задается борновским приближением с константой свяви g. Физическая причина этого, так же как и низкоэнергетическое поведение, подробно рассматриваются в следующей главе.