12.3. Выражение энергии через асимптотические поля.

Обратимся теперь к задаче о выражении Н через асимптотические поля; как и в случае линейной скалярной связи, мы найдем, таким образом, энергию (или массу) перенормировки, иначе говоря, энергию вакуума падающих частиц. Как будет видно из дальнейшего, фазовый сдвиг о непосредственно войдет в вычисления.

С помощью уравнения поля (8.11) перепишем гамильтониан в виде

где использовано обозначение . Подставляя последнее равенство в (12.3) и вычисляя вторую производную по времени от из (11.9 а), мы получаем в матричных обозначениях:

Используя (11.36) и эрмитово сопряженное равенство, а также (11.29), можно упростить это выражение следующим образом:

где E формально равно . Рассмотрим кратко связь этой энергии с энергией вакуума падающих частиц. Помимо этой константы, Н представляет собой энергию падающих и связанных частиц. Спектр Н в сравнении со спектром свободного поля показан на фиг. 12.3.

Приведенный анализ был справедлив лишь для вещественных , т. е. для поскольку мы считали множитель вещественным. При мы приходим к осциллятору с силой отталкивания и дискретный спектр отсутствует. В частности,

спектр собственных значений не имеет иижией границы и корпускулярная интерпретация невозможна. Из физических соображений ясно, что неприятности начинаются при При этом критическом значении импульса полная энергия состояния равна нулю и бесконечно малое количество энергии может породить бесконечное множество частиц в этом связанном состоянии. Эти частицы могли бы появиться при внезапном выключении источника.

Фиг. 12.3. Энергетический спектр в отсутствие (а) и в присутствии (б) источника. В последнем случае показано также связанное состояние.

Таким образом, если X уменьшается адиабатически, нестабильность появляется когда X становится отрицательной, а по абсолютной величине превосходит некоторое критическое значение, определяемое условием

Поскольку гамильтониан (12.12) не был упорядочен, с точки зрения (12.12 в) представляется, что в отсутствие связанного состояния энергия нулевых колебаний точно равна той же энергии для свободного поля. Таким образом, оказывается, что в теории с парным взаимодействием (в отличие от линейного статического случая) не существует перенормировки энергии. В обозначениях гл. 9 мы как-будто получаем . Однако разность двух бесконечных (и поэтому неопределенных) членов может быть отличной от нуля, даже когда они выглядят одинаково, причем результат зависит от способа перехода к пределу. Чтобы получить однозначный ответ, мы вычислим разность между энергиями физических вакуумных состояний при наличии источника и без него, используя для нормировки сферу конечного радиуса; только после этого мы перейдем к непрерывному пределу. Положим, что связанные состояния отсутствуют.

Граничное условие уравнения (5.9) показывает, что разрешенные значения k для части поля с слегка изменяются в присутствии источника вследствие фазового сдвига 8. Взяв обычные решения в виде стоячих волн, мы найдем, что если возможные значения импульса k в отсутствие взаимодействия определяются как

то при наличии источника граничное условие имеет вид

или

Это приводит к изменению собственных значений энергии

и, следовательно, к изменению энергии нулевых колебаний:

В непрерывном пределе эта разность остается конечной и равной

Таким образом, энергетический сдвиг или перенормировочная энергия связанные с источником, отличны от нуля, поскольку источник нарушает согласование собственных частот, вызывая таким образом изменение энергии нулевых колебаний поля. Происхождение величины в случае статического источника, описанного в гл. 9, было иное. Поскольку в этой теории отсутствовало рассеяние, члены типа (12.15) не давали вклада в энергию. Эффект последнего типа приводит также к появлению сил, действующих между макроскопическими телвми, поскольку возможные электрические частоты зависят от расстояния между ними. Этот любопытный квантовый эффект был проверен экспериментально [5].

Соотношение (12.15) между фазовым сдвигом и изменением энергии в конечном объеме показывает, почему притяжение (отталкивание) дает положительный (отрицательный) фазовый сдвиг. Кроме того, оно дает способ оценить его величину. Грубо можно представлять

себе, что взаимодействие меняет величину на в объеме V, в котором Изменение для низколежащих состояний () равно вероятности обнаружения частицы в этом объеме, умноженной на Следовательно,

и (12.16)

что по существу согласуется с (12.8).