5.3. Число частиц и плотность частиц.

Другая наблюдаемая величина, коммутирующая с гамильтонианом, но не имеющая классического аналога, — это число частиц

Собственные значения этого оператора представляют собой сумму целых чисел которые мы интерпретируем как число частиц в состоянии с импульсом k (или угловым моментом с -компонентой ):

Следовательно, N можно назвать оператором полного числа частиц. Очевидно,

Это означает, что частицы не рождаются и не исчезают. По существу мы определяем оператор числа частиц с заданным импульсом к как так что поэтому

Это равенство показывает, что частицы не переходят из состояния с одним импульсом в состояние с другим; иными словами, частицы, описываемые рассматриваемым гамильтонианом, не рассеиваются. Однако для систем, с которыми мы будем иметь дело в дальнейшем, уравнение (5.17) уже не будет справедливым.

Как и другие операторы, рассмотренные ранее, N можно представить в виде объемного интеграла. Если разбить на положительно

и отрицательно частотные части:

то мы найдем, что

В нерелятивистском пределе это выражение в случае шредингеровского поля переходит в более знакомое выражение

В элементарной квантовой механике эту величину полагают равной единице; на нашем языке это означает, что рассматриваются только одночастичные состояния.

Можно также показать, что квантовомеханическая теорема Эренфеста (см. [3]) остается справедливой в нашей общей теории. Если по аналогии с квантовой механикой определить положение центра масс как оператор

то, используя (4.22), (5.3) и интегрируя по частям, получаем

Таким образом, полный импульс равен полной массе, умноженной на скорость центра масс. Релятивистский аналог (5.22) имеет место лишь для центра энергий: