7.2. Три и более степеней свободы.

Ротационная инвариантность двумерного зарядового пространства может быть обобщена; это обобщение находит, например, применение в физике -мезонов, где мы сталкиваемся с тремя различными видами частиц: -мезонами, описание которых требует использования трех полей. Мы рассмотрим вначале случай различных полей с равными массами и применим его потом к . В природе нам приходится сталкиваться с несколькими полями, имеющими одинаковые пространственно-временные свойства. Так, например, -мезоны соответствуют четырем бесспиновым полям. В общем случае

Здесь важно помнить, что все члены в L должны входить с одним знаком, чтобы отсутствовали отрицательные вклады в энергию Наиболее общее преобразование, оставляющее уравнения (7.19) инвариантными, имеет вид

где не зависит от времени и удовлетворяет условиям 2)

Таким образом, мы имеем ротационную инвариантность в -мерном эвклидовом пространстве. Для поворотов на бесконечно малые углы вокруг осей можно записать в следующей общей форме:

где — бесконечно малые: вещественные параметры. Число линейно независимых матриц будет определено ниже. Для двух измерений матрица равна Ограничения, накладываемые условиями (7.21) в первом порядке по дают

Поэтому матрицы должны быть вещественными и антисимметричными. Таким образом, имеет линейно независимых матричных элементов. Иначе говоря, мы можем выбрать такое же число линейно независимых базисных матриц, удовлетворяющих (7.23), через которые можно выразить любую матрицу, удовлетворяющую уравнению (7.22). Число N параметров, характеризующих общую матрицу равно поэтому

Оператор U для общего бесконечно малого снова имеет вид

где операторы должны быть эрмитовыми вследствие унитарности U. Перестановочные соотношения для t следуют из (7.20):

и мы видим, что выражение (7.8) можно обобщить следующим образом:

В силу инвариантности пространственно-временных интегралов движения относительно преобразования U, мы имеем

и, следовательно, каждый сам является интегралом движения. Легко проверить, что для каждого существует свой сохраняющийся ток. В случае двух измерений t равен

Прежде чем заняться построением собственных состояний убедимся, что операторы вообще говоря, не коммутируют. Из (7.26) или непосредственно с помощью (7.19) легко убедиться, что перестановочные соотношения между операторами могут быть получены из перестановочных соотношений для матриц

где в нижней строке уравнение переписано в матричной форме. Так как скобки Ч представляют собой антисимметричные матрицы, их можно представить в виде линейной комбинации матриц:

Подставляя последнее равенство в (7.27), находим, что операторы t удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и матрицы Таким образом, одновременно диагонализовать можно только те операторы , которым соответствуют коммутирующие матрицы Далее, исходя из (7.25), мы можем заключить, что вообще собственные значения операторов t отличаются численным множителем от собственных значений матриц

В заключение обсудим более детально случай , который подходит для описания -мезонов. Здесь удобно выбрать антисимметричные матрицы в виде

Они удовлетворяют перестановочным соотношениям

где — антисимметричный тензор. Три оператора t, соответствующие этим матрицам, называются изоспином. Они удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и операторы вращения в представлении углового момента

Что же касается Q, мы требуем, чтобы

Последнее согласуется с тем, что вакуум представляет собой общее собственное состояние трех (некоммутирующих) операторов t, поскольку вакуум есть одновременно собственное состояние коммутаторов величин t с собственным значением 0. В общем случае можно построить лишь общие состояния одного из Выделение определенного направления в изопространстве возникает в присутствии электрического поля, которое связано с одним из трех

сохраняющихся токов. Благодаря этой связи один из операторов например приобретает смысл электрического заряда. Его собственные состояния получают, применяя к вакууму линейные комбинации диагонализующие Такие комбинации имеют вид причем первые комбинации принадлежат собственным значениям ±1 (и описывают -мезоны), а последняя соответствует собственному значению 0 (и описывает -мезоны). Общие собственные состояния можно построить по аналогии с состояниями углового момента. Положив собственное значение равным мы видим, что вакуум характеризуется значением , а одномезонные состояния Два мезона могут иметь . Состояние с инвариантно относительно вращений в изопространстве и поэтому пропорционально скалярному произведению

Это состояние можно выразить через состояния заряженных частиц как

и, следовательно, каждая из двух частиц может с равной вероятностью быть положительной, отрицательной или нейтральной. При вращениях в изотопическом пространстве состояние с должно преобразовываться как вектор и поэтому его можно представить в виде векторного произведения:

В частности, состояние с имеет вид

Наконец, состояния с преобразуются как симметричный тензор второго ранга со шпуром, равным нулю:

Эти состояния можно построить и с помощью стандартных формул для сложения угловых моментов [3]. Заметим, что состояния с четны, а с нечетны по отношению к перестановке двух частиц. Следовательно, должна быть четной в первом случае и нечетной во втором по отношению к перестановке результат, существенный для -мезонного облака, окружающего нуклон.

Заключение: описание различных существующих в природе частиц хорошо укладывается в рамки теории поля. Более конкретные предсказания для трех -мезонов, связанные с симметрией, изоморфной по отношению к трехмерной эвклидовой группе, будут играть важную роль в последней части книги. Как будет видно, эта инвариантность не нарушается сильнейшими взаимодействиями, обнаруженными в природе, так что рассмотренный выше аппарат играет важную роль в физике -мезонов.