15.2. Перестановочные соотношения и уравнения движения.

Решив вопрос о выборе вида взаимодействия, мы тем самым подготовились к тому, чтобы выписать основные уравнения нашей теории. Сделаем это в различных представлениях для переменных поля, которые были введены в гл. 5:

Два способа разложения подчеркивают здесь различные аспекты проблемы; каждое из них будет использовано в свое время в последующих главах. Для того чтобы разложить

по сферическим гармоникам, целесообразно вместо линейных компонент спина ввести круговые:

и аналогично для изоспина

где

представляют собой операторы, диагонализующие . Чтобы различать линейные и круговые компоненты, мы будем использовать нижние (изменяющиеся от 1 до 3) индексы для первых и верхние (пробегающие значения —1, 0, 1) индексы — для вторых. В таких обозначениях полный гамильтониан нашей модели можно записать

в виде

Здесь, как и в модели Ли, введена константа , так что энергий физического основного состояния может быть выбрана равной нулю. Это упрощает формулы, приведенные в следующих главах, и не отражается на физических выводах. Следует отметить, что Н содержит только переменные поля с Другие переменные входят только в и потому описывают свободные частицы.

Перестановочные соотношения при равных временах имеют обычную форму:

Здесь — полностью антисимметричный тензор, который был введен ранее.

Уравнения движения для мезон-нуклонной системы следуют из (15.5) и (15.6) в соответствии с общим уравнением

Уравнения (15.7) можно переписать в виде интегрального уравнения обычным способом:

или

Свойства инвариантности, скрытые в гамильтониане, позволяют выписать несколько интегралов движения. То, что эти величины постоянны. можно доказать с помощью уравнений движения или проверкой их коммутативности с Н. Однако, учитывая подготовленность читателя, мы перейдем прямо к существу вопроса и получим эти величины как операторы преобразований, оставляющих Н инвариантным. Сохранение углового момента связано с инвариантностью Н относительно одновременного вращения . Оператор преобразования где связано с поворотом вокруг оси, проходящей через начало координат, имеет тот же вид, что и для свободных полей. Вращение на угол вокруг некоторой оси определяется оператором

Для инфинитиземального поворота на угол об оператор U имеет вид и полный сохраняющийся угловой момент равен [см. (5.3)]

Точно таким же образом оператор одновременного поворота в пространстве изоспина [ср. (7.26)] записывается как

Из других классических констант движения сохраняется энергия, но не импульс. Это связано с тем, что в задаче отсутствует выделенное начало отсчета времени, а начало координат фиксировано на находящемся в нем нуклоне. Далее, сохраняется четность, поскольку для нашего гамильтониана не существует различия между левой и правой координатными системами. Явное выражение [см. (5.14 в)] имеет вид

Наконец, существует одна константа, связанная с особой симметрией рассматриваемой модели и отсутствующая в более строгих вариантах теории. Если забыть о мезонах с и рассмотреть сокращенный гамильтониан вида

то легко заметить, что он инвариантен относительно замены . Такая перестановка меняет местами J и Т и оставляет инвариантными перестановочные соотношения. Следовательно, должен существовать постоянный унитарный оператор, осуществляющий такое преобразование. Мы предоставляем, читателю найти явное выражение для этого оператора, так как оно не будет играть особой ролн в дальнейшем изложении. Общее следствие Этой симметрии заключается в том, что для каждого собственного

состояния Н, принадлежащего собственным значениям J и Т операторов J и Т. имеется вырожденное состояние с собственными значениями Т и J. Аналогично, -мезон-нуклонный фазовый сдвиг в состоянии равен сдвигу при