3.2. Квантовые свойства.
Нам остается исследовать, как проявляются в системе связанных осцилляторов такие типичные для осциллятора квантовые свойства, как нулевые колебания и энергия нулевых колебаний. Из (3.12) и (3.6) мы видим, что энергия нулевых колебаний лежит между 
таким образом она совпадает с энергией 
несвязанных осцилляторов, колеблющихся с основными частотами, лежащими между 
. В кристаллической решетке энергия нулевых колебаний играет существенную роль, но в случае полей элементарных частиц до сих 
на удалось связать ее с наблюдаемыми эффектами. В последнем случае она становится бесконечной, поскольку число степеней свободы стремится к бесконечности. Релятивистская инвариантность требует, чтобы она была равной нулю, поскольку состояние без частиц должно выглядеть одинаково для наблюдателей в различных лоренцовых системах отсчета; существование неисчезающего вектора энергии — импульса нарушает это свойство. Возникающую трудность устраняют, определяя оператор энергии как 
Возможно, однако, что 
когда-нибудь будет открыт более глубокий смысл этого обстоятельства.
Для нулевых колебаний 
атома в основном состоянии системы мы находим, учитывая равенство 
Иными словами, квадратичная флуктуация равна в точности среднему значению флуктуаций, связанных с частотами Как и можно было ожидать, квантовые флуктуации для различных типов колебаний независимы, так что квадратичные флуктуации аддитивны. Флуктуации атомов в решетке имеют амплитуду, величина которой лежит в промежутке между ядерными и атомными размерами. Эти флуктуации непосредственно наблюдаемы, например, при рассеянии света или нейтронов. Чем легче атомы и чем слабее силы, действующие между ними, тем больше амплитуда колебаний. Как уже упоминалось, они приводят к макроскопическим эффектам в гелии, препятствуя
его затвердеванию при нормальном давлении даже при абсолютном нуле. Хотя в элементарной квантовой механике эти флуктуации хорошо известны, однако аналогичный эффект в случае полей оказался несколько неожиданным, и был установлен лишь в период новейшего развития квантовой электродинамики. Мы отложим детали до следующей главы, в которой изучаются флуктуационные эффекты при наличии частиц.
