Глава 7. ВНУТРЕННИЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ

7.1. Поля с двумя внутренними степенями свободы.

Кванты полей, рассмотренные нами до сих пор, вели себя как неразличимые частицы. Чтобы описать системы, состоящие из различимых частиц, необходимо ввести несколько полей, по одному на каждый вид частиц. Частицы могут отличаться такими свойствами, как масса, спин и направление спина, или даже такими свойствами, как заряд, т. е. свойствами, не связанными с пространством — временем. Именно с различием последнего типа мы будем иметь дело в настоящей главе. Рассмотрим, например, два эрмитовых поля Клейна — Гордона и возьмем плотность лагранжиана в виде суммы

Эти соотношения описывают систему, образованную двумя сортами частиц с различными массами. Наши предыдущие выводы, касающиеся собственных состояний различных операторов, остаются в силе, за исключением того, что теперь каждое состояние должно характеризоваться числом частиц сортов. Например, двухчастичное состояние, содержащее по одной частице каждого сорта, задается выражением

однако не должна быть теперь симметричной, так как

Поэтому частицы, относящиеся к различным полям, не подчиняются бозе-статистике, безотносительно к тому, одинаковы их пространственно-временные свойства или нет. Соответственно, они не ингерферируют

друг с другом и не дают никаких аномальных флуктуаций.

Механическая модель, которую можно сопоставить введению двух полей — это двумерный осциллятор. В этом случае лагранжиан имеет вид

Если силы, действующие в двух направлениях, равны, т. е. если то появляется новая неэргодическая константа движения, соответствующая ротационной симметрии задачи. Эта константа есть угловой момент, направленный перпендикулярно осям 1 и 2. То же самое происходит и в теории поля, когда две массы в (7.1) равны друг другу. При этом лагранжиан и перестановочные соотношения инвариантны относительно подстановки

Соотношения (7.4) также отражают ротационную симметрию в двумерном пространстве, однако это пространство не имеет ничего общего с нашим пространственно-временным континуумом. Тем не менее исходя из формальной аналогии и рассматриваются как компоненты двумерного векторного поля во внутреннем пространстве, с которым связаны новые константы движения, возникающие из ротационной симметрии. Эти константы называются изоспином по аналогии с угловым моментом для полей с тремя компонентами. Мы сейчас приступим к их обсуждению. Так же как и константы, вытекающие из инвариантности пространственно-временного континуума, новые константы представляют собой операторы бесконечно малых преобразований, причем число констант равно числу параметров группы, оставляющей L инвариантным. Так как группа (7.4) содержит один параметр, мы имеем всего одну константу. Чтобы найти эту константу, мы последуем обычному методу. Поскольку (7.4) оставляют перестановочные соотношения (7.1) инвариантными, должен существовать унитарный оператор U. связывающий

Для бесконечно малых поворотов мы полагаем

и получаем

Фактически Q можно построить явным образом из операторов поля; оно представляет собой обобщение выражения для углового момента в механической модели (7.3):

Легко проверить с помощью (7.1), что соотношения (7.6) и (7.7) выполняются. Далее, поскольку операторы Н, Р и L представляют собой, подобно лагранжиану, квадратичные формы в компонентах они инвариантны относительно (7.5), т. е.

Последнее равенство свидетельствует о том, что Q инвариантно относительно пространственных смещений и поворотов и, что особенно существенно, постоянно во времени. Последнее можно непосредственно проверить, исходя из соотношения

которое показывает, что Q можно свести к поверхностному интегралу.

Аналогичные соотношения можно получить и для других констант движения (таких как энергия), которые представляются в виде бесконечных объемных интегралов. Тот факт, что их временные производные исчезают, может быть выражен в форме дифференциального уравнения непрерывности

Из (7.10) следует, что локальная плотность величины

и ток j, определенный равенством

удовлетворяют уравнению непрерывности. Отсюда следует, что их можно интерпретировать как плотность электрического заряда и ток для данного поля. Подтверждением этой интерпретации служит их

поведение при лоренцовых преобразованиях. Плотность и ток j преобразуются как четырехвекторы, в противоположность, например, плотности энергии, которая также удовлетворяет уравнению непрерывности. В силу сказанного оказывается возможным связать электрическое поле с Q(r, t) лоренц-инвариантным образом:

где V — электростатический потенциал, вектор-потенциал. Конечно, вопрос о том, имеют ли действительно частицы отличный от нуля заряд , может быть решен только эмпирических). Оба случая реализуются в природе. К примеру, и -мезоны не связаны с электрическим полем, а и -мезоны связаны. Однако если частицы заряжены, их связь с электрическим полем должна осуществляться через ток вида (7.12), так как не существует другой величины, обладающей правильными трансформационными свойствами и удовлетворяющей уравнению непрерывности.

Собственные значения оператора заряда Q можно установить, исходя из перестановочных соотношений (7.7), которые с помощью матрицы

записываются более компактно:

где в правой части подразумевается матричное умножение. Введя такие линейные комбинации полей и которые диагонализируют

мы получим

и

Для этих полей преобразование (7.4) превращается в простое умножение на фазовый множитель (градиентное преобразование первого рода):

Перестановочные соотношения (7.14) имеют стандартную форму (2.7), однако поскольку Q не является положительно-определенной величиной, можно заключить, что Q имеет в качестве собственных значений как положительные, так и отрицательные целые числа. Мы видим, что для любого инфинитиземального оператора типа Н, Р, L, или Q, задача о собственных значениях всегда может быть решена аналогичным способом. Рассмотренный случай особенно прост, так как он сводится к диагонализации матрицы 2X2, а не дифференциального оператора.

Поскольку нежелательно, чтобы в вакуумном Состоянии присутствовал какой-либо заряд, потребуем, чтобы

Следует отметить, что это требование удовлетворяется без упорядочения оператора Q в соответствии с (6.5). Из (7.14) следует, что одночастичные состояния являются собственными состояниями оператора заряда при собственных значениях —1 и +1 соответственно, так что порождает положительную частицу, а отрицательную. Поскольку Q коммутирует с Р и Н, мы можем построить состояния, являющиеся собственными состояниями одновременно обоих этих операторов. Если определить, используя обозначения (4.8), величины

и принять во внимание, что преобразование от к унитарно, мы получим

и

Из (7.17) ясно, что собственные значения операторов представляют собой числа положительных (или отрицательных ) частиц с импульсами к и энергиями

Интересно отметить, что перестановочные соотношения (7.7) или (7.14) сохраняются при коммутация или с оператором заряда в любом (сколь угодно малом) объеме

Следовательно, заряд, находящийся в произвольно малом объеме, также имеет целые собственные значения в противоположность оператору числа частиц, рассмотренному ранее. Точечный характер кванта заряда отражен также в соотношении для произвольных v и и не противоречит установленному ранее факту, состоящему в том, что частицы, соответствующие собственным значениям N, имеют размеры комптоновской длины волны. Эти частицы следует представлять себе в виде флуктуирующего облака точечных заряженных квантов, занимающих область с размерами . В самом деле, не коммутирует с полным числом частиц

Поэтому состояние определенное таким образом, что для него и, следовательно,

не будет одночастичным состоянием. Почти во всех экспериментах, которые возможно осуществить в настоящее время, энергии едва хватает на возбуждение самых низких собственных состояний Н. Поэтому

известные эмпирически частицы соответствуют собственным состояниям N и представляют собой дополнительные объекты по отношению к квантам заряда.