Глава 6. СОСТОЯНИЯ

6.1. Вакуумное и одночастичное состояния.

Состояния, которыми мы в основном интересовались до сих пор, были собственными состояниями энергии. Состояние с наинизшей энергией, , не содержит частиц и в соответствии с этим называется вакуумным. Применение каждого порождает состояние с одной частицей с импульсом к. Наиболее общее одночастичное состояние получается при действии на общей линейной комбинации операторов с различными значениями к. Вместо можно также использовать переменные поля определенные по (5.18), или, в нерелятивистском случае, — переменные

Обращаясь к последнему более привычному случаю, мы можем записать

Заметим, что введенные ранее одночастичные состояния или представляют собой частные случаи (6.1) при

или

так как эти состояния будучи собственными состояниями гамильтониана не зависят от времени. Нормировка одночастичного состояния требует, чтобы

Мы получили нормировочное условие для волновой функции в квантовой механике, и действительно играет роль этой величины. Она появляется во всех случаях, когда вычисляются такие величины, как плотность энергии плотность импульса или плотность числа частиц . Так,

и аналогично

Теперь мы исследуем вопрос, можно ли рассматривать кванты поля как частицы в том смысле, что они представляют собой объекты, локализованные в определенной области пространства. Как и в квантовой механике, в любой данный момент времени можно построить плотность частиц с произвольным пространственным распределением. Разумеется, построенное состояние не будет, вообще говоря, собственным состоянием энергии и импульса, но это замечание относится и к квантовой механике, где волновой пакет в конечном счете расползается.

Нет необходимости, чтобы наши нерелятивистские частицы имели определенный размер в заданный момент времени достаточно того, что существует состояние, для которого величина отлична от нуля лишь в произвольно малой области [например, ]. В этом случае ожидаемые значения плотностей будут, согласно (6.3), равны нулю вне этой области. Мы видим из (4.22), что такое состояние является собственным состоянием плотностей, взятых вне области, соответствующей нулевому собственному значению. Это означает, что существуют такие состояния, для которых никакой эксперимент не может обнаружить каких бы то ни было следов частицы вне рассматриваемой области, сколь угодно малой. Тем не менее мы всегда имеем

В частности, легко видеть, что при состояние является собственным значением (хотя и не нормированным) с собственным значением 1, если v содержит , и с собственным значенинм 0

в противном случае. Чтобы показать это, мы используем равенство

которое также доказывает, что имеет целые собственные значения для произвольного объема

Свойства состояний релятивистского поля оказываются иными. Во-первых, в этом случае вакуумное состояние не является собственным состоянием локальных плотностей или . Эти величины содержат пропорциональные члены, которые при действии на вакуум приводят к появлению двухчастичного состояния. С другой стороны, вакуумное среднее от отлично от нуля:

Мы можем, однако, перераспределить плотности таким образом, чтобы гарантировать исчезновение средних вакуумных величин. Это достигается тем, что все операторы ставятся справа от т. е.

так что, например, плотность импульса становится равной

Следует отметить, что указанная процедура не меняет членов и поэтому вакуумное состояние не становится собственным состоянием локальных плотностей. Однако описанное переопределение приводит к исчезновению собственной энергии нулевых колебаний. Все сводится лишь к изменению наблюдаемых величин на определенные (хотя и бесконечные) неизмеримые числа. Более того, эти числа являются действительными, вследствие чего эрмитовость наблюдаемых сохраняется. В дальнейшем мы всегда будем

предполагать, что наблюдаемые величины, квадратичные по представляют собой упорядоченные произведения. Это не означает, что вакуумные флуктуации исчезают. Так, по-прежнему задается суммой (4.13), а флуктуация плотности энергии после упорядочения Н (но не ) также остается отличной от нуля, и расходится даже быстрее, чем флуктуация оператора поля Таким образом, в релятивистской теории никогда не возможно быть уверенным, что локальная энергия равна нулю. Это происходит снова вследствие того, что точное определение объема требует больших импульсов и энергий, при которых в релятивистской теории возможно рождение частиц. В дальнейшем мы увидим, что виртуальное существование частиц во всем пространстве представляет собой одну из наиболее удивительных черт этой теории.

Одночастичные состояния релятивистской теории также обладают интересными свойствами. Для того чтобы записать нашу произвольную линейную комбинацию операторов рождения в импульсном пространстве в переменных следует ввести и ее фурье-компоненту поскольку

Отсюда при получаем:

Условие нормировки

не соответствует обычному, , а имеет вид

Последнее равенство представляет собой результат присутствия множителя из-за которого невозможно найти такое пространственное распределение чтобы средние значения всех плотностей были равны нулю вне заданной области. Например, полагая все равными что соответствует пространственной В-функции при

для но не для мы получаем для плотности частиц из уравнения (5.27):

Правая часть этого равенства не равна, очевидно, нулю при , поэтому одночастичное состояние, описываемое таким образом, нельзя считать локализованным; оно размазано на расстояние порядка . С другой стороны, если в соответствии с выбрать равным мы получим для с помощью перестановочных соотношений (5.18) и (5.29 а):

Эта величина действительно равна нулю при так что состояние оказывается локализованным в начале координат. Однако среднее значение плотности энергии в этом состоянии становится равным

Основные свойства пространственной зависимости этой функции определяются величиной для . Это можно понять, рассмотрев частицу, локализованную в начале координат. Всякое измерение энергии связано с рождением частиц, однако это уже было учтено при переопределении операторов (6.5). Последнее гарантировало, что в отсутствие реальных (но не виртуальных) частиц, т. е. в случае вакуумного состояния, среднее значение плотности энергии равно нулю. Однако благодаря присутствию частицы в начале координат измерения вблизи этой точки могут привести к новым следствиям. На расстоянии может родиться пара частиц, одна из которых остается в этой области, тогда как другая аннигилирует с частицей в начале координат. Расстояние, которое может пройти любая

виртуальная частица, ограничено условием . Поскольку при рождении пары частиц , то и частицы не могут распространяться далее чем на расстояние Поэтому событие рассмотренного типа влияет на плотность энергии лишь на расстояниях порядка от начала координат.

Аналогичные вычисления показывают, что имеет только целые собственные значения, если простирается значительно дальше, чем на длину комптоновской длины волны кванта поля. Мы находим, что но содержит дополнительный член, пропорциональный и усредненный около на расстояниях порядка комптоновской длины волны:

Вектор не будет поэтому собственным состоянием . Тем не менее, если гораздо больше, чем представляет собой гладкое распределение в объеме около средней части то будет уже собственным состоянием этого

Поскольку локальные плотности энергии, взятые в разных точках пространства в один и тот же момент времени, коммутируют при , может показаться, что возможно построить состояние, в котором энергия точио локализована. Это и в самом деле может быть сделано, но, как можно показать, такие состояния не принадлежат к состояниям с определенным числом частиц. Ввиду этого локальные величины и число частиц представляет собой взаимодополняющие понятия.