14.2. ...-рассеяние.

В качестве первого применения уравнения Лоу мы найдем некоторые общие свойства амплитуды -рассеяния. Коммутатор в (14.5) содержит перед один член с и другой с Первый из них рождает состояние с по существу мы видим из уравнения

что

Следовательно, соответствующий член в правой части (14.5) становится равным

где

Оставшийся член из (14.5) рождает состояния с , т. е. состояния с одним уходящим -мезоном и нейтроном или с двумя уходящими -мезонами и протоном. Здесь мы должны предположить, что взаимодействие не меняет формы энергетического спектра и не существует дискретных состояний с . При этих предположениях указанные состояния имеют энергию . Если обозначить физические состояния с символом , то можно переписать оставшуюся часть коммутатора в виде

где — энергия состояния . Это дает вместе с

Первое замечание относится к знаку величины Из (14.9) и (14.4 а) следует, что она больше нуля, как для случая притяжения в отсутствие связанного состояния. Причину, по которой взаимодействие -мезона с нейтроном оказывается притяжением, можно проследить; она оказывается следующей: одиночный нейтрон испускает -мезон, а образовавшийся при этом протон снова поглощает его. Мы видели, что такие процессы понижают энергию на величину . Если имеется другой -мезон, эмиссионная и абсорбционная способности нуклона возрастают. Мы уже видели, что источник испускает бозоны более интенсивно, когда в его окрестности присутствуют идентичные бозоны, вследствие хорошо известного

эйнштейновского принципа индуцированной эмиссиих). Этот процесс понижает энергию таким образом, что выигрыш от энергии взаимодействия превосходит потерю ее на собственную массу -мезона. Таким образом, взаимодействие уменьшает энергию по сравнению с энергией в отсутствие взаимодействия, имитируя силу притяжения. В том, что такая ситуация приводит к притяжению, тогда как фазовый сдвиг для системы оказывается отрицательным, заключается одна из трудностей в современном толковании физики -мезонов низких энергий.

Сделанные до сих пор утверждения носили точный характер. Однако решение уравнения (14.9) невозможно получить в замкнутом виде. Мы получим его в том приближении, когда в сумме по состояниям с пренебрегают вкладом от состояний . Если эти виртуальные процессы с испусканием второго -мезона не учитываются, то из всей суммы в (14.9) остается лишь член, пропорциональный величине , которую можно выразить через Т. Получаем

Хотя (14.10) и относится к нелинейным интегральным уравнениям, его можно решить точно. С этой целью покажем, что есть граничное значение функции, аналитической в плоскости w. Действительно, (14.10) показывает, что функция комплексной переменной z, подчиняющаяся уравнению

связана с Т соотношением

Из (14.11) видно, что аналитична везде в комплексной плоскости, за исключением полюса в начале координат и разреза вдоль вещественной оси от m до На этом разрезе мнимая часть функции имеет разрыв:

Поскольку скачок непосредственно связан с р:

Функция с перечисленными аналитическими свойствами имеет вид

при условии, что достаточно мало, чтобы выражение в скобках не обращалось в нуль при . С последней оговоркой (14.11) действительно удовлетворяет уравнению (14.13)).

Чтобы связать полученное решение с более привычным материалом, найдем его и с помощью тех методов, которые мы использовали в теории с билинейным взаимодействием. Интеграл в (14.11) можно записать в виде контурного интеграла вокруг разреза (см. фиг. 13.2) и, далее, дополнить бесконечной окружностью до интеграла по

замкнутому контуру, поскольку при Следовательно, уравнение (14.11) можно записать в линейной форме:

где С — контур интегрирования, изображенный на фиг. (13.2). Вычисляя интеграл по теореме Коши, мы сразу убеждаемся, что (14.11) удовлетворяется. Таким образом, мы получаем следующее решение для с (14.12) и (14.13)]:

Вспоминая, что получаем для фазового сдвига:

Это выражение имеет ту же форму, что и выражение для фазового сдвига в парной теории при наличии притяжения [см. (12.116)]. Характер решений (14.14) и (14.15) обнаруживает одно важное свойство уравнения поскольку оно включает только физические состояния, его решения могут быть выражены непосредственно через имеющую физический смысл, „измеримую" константу связи не g), Мы предполагали отсутствие резонансов при отрицательных энергиях, которые означали бы дискретные состояния с . Это приводит к ограничению, налагаемому на величину характер которого зависит от . При достаточно больших (превосходящих определенный предел) появляется резонанс с. Наличие знаменателя в (14.14) увеличивает фазовый сдвиг, тогда как в -рассеянии мы имели уменьшение фазового сдвига. Поскольку при малых энергиях неупругие члены в (14.5), соответствующие состоянию только увеличивают этот эффект, следует ожидать, что и точное решение также имеет эту особенность. Таким образом, можно думать, что при низких и средних энергиях сечение -рассеяния должно быть гораздо больше сечения -рассеяния.

Это видно и из сопоставления (14.14) и (14.5 а). Последнее решение для -рассеяния можно получить также, пользуясь техникой, примененной при вычислении (14.14),