9. Решение разностных уравнений методом прогонки.
Одним из наиболее употребительных способов решения разностных уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач для уравнений математической физики, является в настоящее время метод прогонки.
Рассмотрим трехточечное разностное уравнение
с краевыми условиями
Здесь 
заданные числа.
Будем искать решение уравнения (52) в том же виде, в котором заданы краевые условия (53), т. е. в виде
где 
неизвестные пока коэффициенты.
Подставляя (54) и
в уравнение (52), получим
Отсюда видно, что уравнение (52) будет выполнено, если потребовать
Тем самым, мы получаем рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов 
Величины 
находим из (54) и краевого условия (53) при 
Значение 
необходимое для начала счета по формулам (54), получаем из (54) и краевого условия (53) при 
Итак, мы можем получить точное решение краевой задачи (52) — (53) при помощи следующего алгоритма:
Этот способ решения разностных уравнений вида (52) и носит название метода прогонки. Так как значения 
находятся здесь последовательно, начиная от правой границы, то формулы (55) называют иногда формулами правой прогонки. Аналогично выводятся формулы левой прогонки:
Иногда оказывается удобным комбинировать правую и левую прогонки (так называемая «встречная прогонка», см., например, А. А. Самарский [3]).
Прогоночные формулы (55) называются устойчивыми, если коэффициенты 
не превосходят по модулю единицы. В этом случае ошибки округления, возникающие в процессе счета по рекуррентной формуле (54), не будут возрастать. Условия
обеспечивают устойчивость прогоночных формул (55). Действительно, 
и если 
то
Заметим, что ограничения на 
можно ослабить. Например, прогоночные формулы (55) остаются устойчивыми, естн вместо (56) потребовать выполнения условий
или условий
Пример 1. Краевые условия первого рода:
На отрезке построим произвольную неравномерную сетку с шагами 
и заменим (57) следующей разностной задачей
Чтобы решить эту систему уравнений методом прогонки, перепишем (58) в виде
Сравнивая это уравнение с уравнениями (52), (53), находим, что для (58)
Так как условия устойчивости (56) при этом выполнены, то задачу (58) можно решать методом прогонки.
Пример 2. Третья краевая задача:
Введем равномерную сетку сол 
и построим для (59) разностную схему второго порядка аппроксимации (см. пример 1, п. 6):
Записывая систему (60) в виде (52), (53), получим, что для
Отсюда видно, что при 
условия устойчивости прогонки (56) выполнены.
Метод прогонки для решения разностных краевых задач был предложен в начале пятидесятых годов несколькими авторами. Это: И. М. Гельфанд и О. В. Локуциевский (см. С. К. Годунов и В. С. Рябенький [1]), В. С. Владимиров (см. Г. И. Марчук [1]), А. С. Кронрод (см. А. Д. Галанин [1]). Ссылки на зарубежных авторов имеются в книге Р. Д. Рихтмайера [1] и И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера [1]. В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных методу прогонки. Некоторые варианты метода прогонки приведены в дополнении к данной книге.
