Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Классы устойчивых трехслойных схем1. Постановка задачи.В этом параграфе будут получены достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных схем. Мы пользуемся канонической формой трехслойной схемы
Здесь
По аналогии с § 1 решение задачи (1) можно представить в виде суммы
а у — решение неоднородного уравнения с однородными начальными данными
Перепишем (1) в виде
При изучении устойчивости трехслойной схемы будем пользоваться функционалом (составной нормой) вида
где Нетрудно видеть, что функционал (4) удовлетворяет всем аксиомам нормы, а именно:
только при
или оценка
где
Если В общем случае Как будет показано ниже, нормы Поэтому будем предполагать, что операторы
2. Основное энергетическое тождество.Перейдем к выводу энергетического тождества для трехслойной схемы (1), справедливого для переменных операторов
перепишем (1) в виде
где Умножим
Пусть
В силу леммы 1 из § 1 имеем
Прибавим и вычтем
Лемма 1. Пусть
для любых векторов Доказательство. Так как
что и требовалось доказать. Полагая в
Подставим теперь (17) и (13) в (12) и учтем, что
Тогда получим основное энергетическое тождество для трехслойной схемы (1):
При его выводе мы использовали лишь предположение (9) о самосопряженности 3. Устойчивость по начальным данным.Напомним определение устойчивости по начальным данным и по правой части. Схема (1) устойчива по начальным данным, если для задачи (1а) справедлива априорная оценка
Схема (1) устойчива по правой части, если для задачи (16) имеет место оценка
или оценка
Пользуясь неравенством треугольника, из (19) и (20) или (21) получаем оценку (5) или (6). Основное изложение проведем, предполагая, что
Рассмотрим задачу (1а). Для нее тождество (18) примет вид
где
Из (24) видно, что Теорема 1. Пусть
достаточны для устойчивости схемы (1) по начальным данным. При выполнении условий (26) и (27) для задачи (1а) имеет место оценка
где Действительно, при 50 из (23) следует
Замечания. 1) Если 2) Если условия теоремы выполнены при любых 4. Устойчивость по правой части.Рассмотрим теперь задачу (16). Будем предполагать, что выполнены условия (10) и (27). Так как
При выводе априорных оценок вида (20) или (21) основную роль играет оценка функционала Заметим, прежде всего, что имеет место очевидное неравенство
где Лемма 2. Пусть
где Применим лемму 1 из гл. V, § 1
Воспользуемся неравенством
т. е.
где Лемма 3. Если
Воспользуемся тождествами
Согласно лемме 1 из гл. V, § 1 имеем
Учитывая затем (32), получим
После подстановки (35) в (34) приходим к (33). Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, А — положительно определенный оператор. Тогда схема (1) устойчива по правой части и для нее при
где Доказательство. Рассмотрим задачу (16). Подставим оценку (33) в (29) и учтем, что 0:
Суммируем это неравенство по
а при
так как Сложим это неравенство с (37):
Лемма 2 при
Для решения неравенства (38) применим лемму 5 из § 1, выберем во и учтем, что
Из (39) и (28) следует (36). Теорема 3. Пусть
где
Тогда для решения задачи (16) справедлива априорная оценка
Рассмотрим тождество (29). Из (40) и (30) при
Суммируя
или
так как Лемма 4. Если
В самом деле
Далее, обозначив
откуда следует неравенство
Суммируя его по
или
Воспользуемся очевидным тождеством
Отсюда и из (46), (47) следует (45). Подставляя в (44) оценку (45), получаем (42). Теорема 4. Пусть
Достаточно оценить лишь решение задачи (16), так как георема 1 при
Остается просуммировать это неравенство по переменному 5. Схемы с переменными операторами.Если
при всех
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части тождества (18). Замечая, что
и вводя обозначения
перепишем тождество (18) в следующем виде
Если
и из тождества (53) при
В общем случае, когда условию (49) удовлетворяет каждый из операторов
при Тождество (53) дает
После того, как написано энергетическое неравенство (57), вывод априорных оценок проходит так же, как и для постоянных
где Формулируем основные результаты в виде одной теоремы. Теорема 5. Пусть
где
при
при Во избежание ненужных повторений, доказательство теоремы опускаем. Замечание. Некоторые требования теоремы 5 могут быть ослаблены. Так, устойчивость по начальным данным имеет место при условии потребовать положительности оператора А. Условие можно заменить условием
где 6. Схема с весами.Весьма часто встречаются на практике схемы с весами
где В гл. V, § 2 схема (63) была приведена к каноническому виду (1) и были найдены операторы
Пусть существует оператор
где
Отсюда видно, что Применим к (65) теоремы 1 и 2. Справедливы операторные неравенства
Теорема 6. Если
то схема (63) устойчива и для нее верна оценка
где
Доказательство. 1) Устойчивость по начальным данным. Так как условия
и, в частности,
где 2) Устойчивость по правой части. Рассмотрим задачу (63) при
где
Подставляя (72) в (63) и учитывая (73), убеждаемся в том, что (72) есть решение задачи (63). Для
где По условию
т. е.
Подставляя (75) в правую часть неравенства
получаем для решения задачи (63) с
Отсюда и из (71) следует (69). Теорема 7. Если
где Для доказательства теоремы надо подставить оценки
в тождество (18) для схемы (65). Применяя теорему 2 к схеме (65) с постоянным положительно определенным оператором А, нетрудно получить при условиях (68) оценку
Отметим еще, что оценка (60) имеет место для схемы (63), если
а оценка вида (61) справедлива при — 7. Примеры.Рассмотрим несколько схем частного вида. 1. Явная схема
неустойчива при 2. Схема (1) с оператором
устойчива при
Частным случаем схемы (80) является схема Дюфорта и Франкела (схема «ромб») для уравнения теплопроводности
Она получается из явной неустойчивой схемы (вида (79))
в результате замены
Приведем (82) к каноническому виду. Так как
Сравнивая это уравнение с (80), видим, что 3. Несимметричная трехслойная схема
применяется для решения уравнения теплопроводности. Пользуясь формулами
приведем ее к каноническому виду
т. е.
8. Другие априорные оценки.Наряду со схемой (1) часто встречаются трехслойные схемы, записанные в виде
Эта схема формально получается из (1) заменой Составные нормы Любую трехслойную схему будем записывать в форме
где
Будем предполагать, что
Из теоремы 5 следует, что схема (84) при условиях (85), (86) и условии
где
Постоянная Лемма 5. Пусть выполнены условия (85) и (87). Тогда
Доказательство. Обозначим
Докажем неравенство (91).
Подставим сюда
Используем условие (87):
Отсюда следует первое неравенство леммы. Заметим далее, что
Пользуясь снова обобщенным неравенством Коши — Буняковского
Применим неравенство:
Полагая второй коэффициент равным нулю, найдем Чтобы получить третью оценку, потребуем равенства коэффициентов при
Так как
Лемма полностью доказана. Подставляя (91) — (93) в (88), получаем оценки для задачи (84а):
Для доказательства устойчивости схемы (84) по правой части воспользуемся принципом суперпозиции и будем искать решение задачи (846) в виде суммы
где
Предположим, что оператор Так как В силу (95) получаем
Пользуясь затем (97) и неравенством треугольника, получим для решения задачи (846) оценку
Суммируем все результаты в виде следующей теоремы. Теорема 8. Пусть выполнены условия (85) — (87) и, кроме того,
Следствие. Пусть
Более тонкие оценки, аналогичные оценкам для уравнения колебаний струны
Предположим, что
Тогда при условии (87) для (101) верна оценка (99) с
Применяя к (103) оператор
Сравнивая ее со схемой (84), устанавливаем соответствие
Условие (87) принимает вид
Воспользуемся теперь оценкой (99). Так как С — постоянный оператор, то
Учитывая, что
запишем (105) в исходных переменных
Тем самым доказана Теорема 9. Если выполнены условия (87) и (102), то для схемы (101) имеет место априорная оценка (106). В частности, для схемы
(ср. с оценками гл. II, § 2, п. 2). Рассмотрим в качестве примера схему с весами
Подставляя сюда
т. е.
Для явной схемы
Явная схема Рассмотрим вопрос об устойчивости схемы (107) с переменным оператором Применим к обеим частям уравнения (107) оператор
Чтобы воспользоваться теоремой 5, надо установить липшиц-непрерывность
В силу самосопряженности и положительной определенности оператора
Предполагая, что выполнено условие
Следовательно
Учитывая затем неравенство
заключаем, что
если выполнены условия
В силу теоремы 5, если
то для схемы (107 выполняется оценка
Пользуясь (91) и (92) и учитывая, что
где 1) 2)
9. О регуляризации разностных схем.Теорию устойчивости разностных схем, изложенную в этой главе, можно использовать для формулировки общего принципа (принципа регуляризации, А. А. Самарский [20]) для получения схем заданного качества, т. е. устойчивых, обладающих аппроксимацией и удовлетворяющих дополнительному требованию экономичности (минимума арифметических действий, достаточных для решения на ЭВМ получающихся разностных уравнений). Требование экономичности применительно к нестационарным задачам математической физики обычно означает, что число арифметических действий, затрачиваемых для решения разностных уравнений при переходе со слоя на слой, пропорционально числу узлов сетки При записи двухслойных и трехслойных схем в канонической форме
было обнаружено, что ответственным за устойчивость является оператор
Устойчивость или неустойчивость схемы (из исходного семейства) зависит только от выбора оператора С точки зрения теории устойчивости произвол в выборе оператора 1) схема должна принадлежать исходному семейству, т. е.
2) должны быть выполнены условия (111). Для получения устойчивой схемы заданного качества необходимо добиться, чтобы она имела аппроксимацию заданного порядка и была экономичной, т. е. для решения уравнений Заметим, прежде всего, что если схема (109) или Обычно при построении разностных схем поступают так: пишется сначала схема, обладающая аппроксимацией нужного порядка и экономичная, после чего исследуется ее устойчивость. Основная идея регуляризации разностных схем заключается в следующем: схемы заданного качества надо искать в классе устойчивых схем, отправляясь от некоторой исходной схемы и заменяя ее, путем изменения оператора Многие приемы построения схем частного вида можно трактовать как простейшие приемы регуляризации. Запись схем в канонической форме удобна не только для проверки устойчивости, но и для оценки порядка аппроксимации. При Основным является вопрос о выборе регуляризатора
Полагая затем Простейшим видом
Условия устойчивости выполнены, если Пример 1. Рассмотренная в § 2, п. 7 явная трехслойная схема Дюфорта и Франкела для уравнения теплопроводности принадлежит семейству схем
В самом деле, Нетрудно написать явную устойчивую схему для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
В этом случае Для многомерного уравнения теплопроводности
где Пусть Пример 2. Асимметричная схема В. К. Саульева [1] для уравнения теплопроводности принадлежит семейству «треугольных» схем. Она имеет вид:
Здесь
и условно аппроксимирует уравнение с В случае задачи (114) имеем
Важно отметить, что при построении схемы Дюфорта и Франкела [1] в качестве исходной бралась явная неустойчивая схема
которая имеет аппроксимацию В дальнейшем, после введения в практику формул прогонки, стали широко рассматривать двухслойные неявные схемы (схемы с весами), для которых Укажем еще один способ выбора
так что
Так как Перемежающиеся схемы В. К. Саульева [1] фактически эквивалентны схеме с факторизованным оператором В указанного вида. Схемы с факторизованным оператором
применяются в качестве итерационных схем для решения уравнений 10. О работах по устойчивости разностных схем.Остановимся кратко на работах, в которых рассматриваются принципиальные вопросы теории устойчивости разностных схем и получены достаточно общие результаты. Отметим, что данный обзор никоим образом не претендует на полноту. Многочисленные литературные ссылки читатель может найти в книгах В. К. Саульева [1], С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1], Рихтмайера и Мортона [1], В. Вазова и Дж. Форсайта [1], Н. Н. Яненко [6], [7], Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко [1]. Понятие устойчивости разностной схемы, по-видимому, впервые встречается в статье Неймана и Рихтмайера [1] в 1950 г., где устойчивость определяется как ограниченность всех гармоник решения разностной задачи. Более подробно этот спектральный критерий изложен в обзоре О Брайена, Хаймама и Каплана [1]. Независимо от этих работ в 1952 г. была опубликована статья В. С. Рябенького [1] (см. также В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [1]), где даны математически строгие определения устойчивости для разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для системы уравнений с частными производными. Устойчивость определялась, по аналогии с понятием корректности для системы дифференциальных уравнений, как непрерывная зависимость в сеточной норме С или 12 решения разностной задачи от начальных данных, причем эта зависимость должна быть равномерной относительно шагов сетки. Было показано, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость разностной схемы. Различные определения и способы исследования устойчивости были предложены в работах Н. Н. Меймана [1], Л. А. Люстериика [1], Коллатца [2], Джона [1], Дюфорта и Франкела [1] и др. Существенный шаг был сделан в 1955 году А. Ф. Филипповым [1], который ввел общее понятие устойчивости разностной схемы как непрерывной зависимости (в разных нормах), равномерной относительно шагов сетки, решения разностной задачи от начальных и граничных данных и от правой части. Это определение включает в себя определения, предложенные ранее, и относится к схеме общего вида, не связанной с каким-либо конкретным уравнением. А. Ф. Филиппов вводит определение аппроксимации и показывает, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость схемы. Работы В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова получила развитие в их книге (см. В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [1]), где рассмотрены и некоторые способы исследования устойчивости, например, метод разделения переменных, который иллюстрируется на ряде конкретных примеров. Другой подход к теории разностных схем дан в работе Лакса и Рихтмайера [1] (см. также Р. Д. Рихтмайер [1]), которые рассматривали в банаховом пространстве абстрактную задачу Коши
где
где Устойчивость схемы определяется как равномерная ограниченность степеней оператора перехода
где
выражающая устойчивость по начальным данным в В работе Лакса и Рихтмайера [1] было показано, что если исходная задача корректна и схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость необходима и достаточна для сходимости схемы. В книге Работа Лакса и Рихтмайера [1] положила начало ряду исследований по спектральной теории устойчивости. Так, Крейс [2] получил необходимые и достаточные условия устойчивости (ограниченности спектра степеней матриц перехода) для широкого класса разностных схем. Эти же вопросы рассматривали Буханан [1], Мортон и Шехтер [1], которые упростили некоторые доказательства Крейса [2]. Результаты работ Крейса [2], Буханан [J, Мортона и Шехтера [1] изложены в книге Рихтмайера и Мортона {1]. Ряд необходимых признаков устойчивости несамосопряженных краевых задач получен с помощью изучения спектра семейства разностных операторов в работах С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1]-[3] и В. С. Рябенького [2], [3]. Устойчивость разностных схем для гиперболических систем первого порядка изучалась в работах О. А. Ладыженской [1], С. К. Годунова [1], [2], Лакса [1], Лакса и Вендрофа [1]-[3], Лакса и Ниренберга [1], Крейса [5], Стренга [1], Келлера и Томэ [1], Томэ [1], Л. С. Франка [1]. Исследование устойчивости разностных схем в норме С было проведено в работах С. И. Сердюковой [1]-[3], И. В. Коновальцева [1], [2], М. В. Федорюка [1]. Томэ [4], Видланда [2]. Наряду со спектральными методами исследования устойчивости развивался, применительно к конкретным схемам, энергетический метод, позволивший освободиться от детального изучения спектральных свойств операторов разностных схем. Начало этому направлению фактически положила работа Р. Кураита, К. Фридрихса и Г. Леви [1]. Априорные оценки разностных схем простейшего вида, в связи с изучением вопроса о разрешимости смешанных задач для различных уравнений и систем уравнений в частных производных, были получены энергетическим методом О. А. Ладыженской [2], В. И. Лебедевым [1] (см. также обзорную статью А. М. Ильина, А. С. Калашникова и О. А. Олейник [1]). Усовершенствование аппарата энергетических оценок и применение его для широких классов разностных схем (для параболических и гиперболических уравнений) было даио в работах Лиза [1]-[4] и А. А. Самарского [1], [2]. Примерно в это же время ряд априорных оценок для разностных краевых задач был получен Крейсом [4], Л. И. Камыиииым [1], Дугласом [3]. Позже энергетический метод нашел широкое применение при исследовании разностных схем для многомерных задач математической физики. Укажем в связи с этим работы В. Б. Андреева [1]-[6], И. Г. Белухиной [1], [2], Е. Г. Дьяконова [3]-[5], [8], А. Н. Коновалова [4], А. А. Самарского [4]- [12], [16J, [21], И. В. Фрязинова [2]-[6]. Двухслойные и трехслойные разностные схемы для эволюционной задачи Коши изучались с помощью метода энергетических неравенств в работе Равьярта [1]. Ряд новых результатов в теории устойчивости разностных схем получен в работах Видланда [1], Вендрова [1], Миллера и Стреига [1], Томэ [3], [5], Л. С. Франка [3]. Изложение теории устойчивости разностных схем, даииое в главах V— VI, основано на работах А. А. Самарского [20], [21], [23], [24]. Развитию этого направления посвящены работы А. В. Гулииа [1], А. В. Гулина и А. А. Самарского [1], А. А. Самарского [28], А. А. Самарского и А. В, Гулииа [1]. Задачи к главе VI(см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|