Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа1. Однородные разностные схемы.В прямоугольнике
будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения второго порядка гиперболического типа
где Как обычно предполагаем, что эта задача имеет единственное решение, непрерывное в замкнутой области Допускается, что коэффициент
Пусть Заменяя
получаем однородную трехслойную схему с весами
Коэффициент а берем на среднем слое Подставляя в
где
изучением которой и ограничимся. Краевые условия и первое начальное условие удовлетворяются точно:
Второе начальное условие
Он имеет второй порядок аппроксимации по Второй способ состоит в
В результате задаче (1) — (3) ставим в соответствие однородную разностную схему, определяемую условиями (7) — (9) (или (7), (8), (9)). Эта схема является трехслойной. Для вычисления значения
2. Погрешность аппроксимации.Пусть
Подставляя
где
Если По аналогии с § 1 и § 2 преобразуем выражение для
где
Для этого возьмем уравнение (1) в момент
Разделим это тождество на
Коэффициенты Пусть
Воспользуемся формулой (87) § 1, п. 13 при Учитывая, что непрерывна в точке разрыва
Подставляя это выражение в формулу (17), получим
3. Устойчивость и сходимость.Чтобы не завышать требований гладкости коэффициентов и решения при оценке порядка точности схемы (7) — (9), используем различные априорные оценки для операторно-разностной трехслойной схемы
Здесь
Будем использовать следующие нормы:
В нашем случае операторы
Оператор А — самосопряженный и положительно определенный,
Схема (20) устойчива при условии (см. гл. VI, § 2)
где
будет выполнено при
В гл. VI, § 2 будут получены следующие оценки для задачи (20):
Эти оценки имеют место для схемы с весами (20), если а В § 2, п. 4 для равномерной сетки были получены оценки, которые в случае неравномерной сетки принимают вид
Так как
то
Представим решение z задачи (11) -(13) в виде
Из
где Теорема 1. Пусть
коэффициенты
Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться априорными оценками (21) и (22) для Замечание 1. Теорема 1 сохраняет силу, если вместо (7) взять схему
где § 2). В этом случае
При оценке погрешности аппроксимации для этой схемы изменится лишь формула (14) для В гл. VI, § 2 для схемы (20) при
где
3)
Априорная оценка (28) может быть использована при выяснении порядка точности схемы
В § 2 получены оценки для до и
где Оценки (28) и (29) используются для доказательства того факта, что схема с весами
Порядок точности по
|
1 |
Оглавление
|