§ 3. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа

1. Однородные разностные схемы.

В прямоугольнике

будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения второго порядка гиперболического типа

где

Как обычно предполагаем, что эта задача имеет единственное решение, непрерывное в замкнутой области и обладающее требуемыми по ходу изложения производными.

Допускается, что коэффициент может иметь разрывы первого рода на конечном числе прямых, параллельных оси координат (неподвижные разрывы). Проведем изложение для случая одной линии разрыва которой выполняется условие сопряжения (непрерывность функций и

Пусть произвольная неравномерная сетка на отрезке — равномерная сетка на отрезке — сетка в прямоугольнике Построение однородной схемы для задачи начнем с аппроксимации разностным оператором при фиксированном

Заменяя где

получаем однородную трехслойную схему с весами

Коэффициент а берем на среднем слое

Подставляя в ту где получим после чего запишем схему (5) в виде:

где единичный оператор. При получаем симметричную схему

изучением которой и ограничимся.

Краевые условия и первое начальное условие удовлетворяются точно:

Второе начальное условие можно аппроксимировать двумя способами. Один из способов указан в гл. II:

Он имеет второй порядок аппроксимации по

Второй способ состоит в что для определения пишется разностное уравнение

В результате задаче (1) — (3) ставим в соответствие однородную разностную схему, определяемую условиями (7) — (9) (или (7), (8), (9)).

Эта схема является трехслойной. Для вычисления значения на новом слое надо знать значения на двух предыдущих слоях. На каждом новом слое решается (методом прогонки) краевая задача относительно

2. Погрешность аппроксимации.

Пусть - решение задачи решение разностной задачи (7) — (9). Напишем, как обычно, уравнение для погрешности

Подставляя и в (7) — (9), получаем

где

погрешности аппроксимации (на решении задачи (1) — (3)) уравнения (1) и второго начального условия соответственно.

Если имеют конечное число неподвижных разрывов, то сетку выбираем так, чтобы линии разрыва проходили через узлы этой сетки (ср. § 1 и § 2, п. 6).

По аналогии с § 1 и § 2 преобразуем выражение для к виду

где

Для этого возьмем уравнение (1) в момент и проинтегрируем его по в пределах от до

Разделим это тождество на и вычтем его из правой части формулы (12) для

Коэффициенты определяются при фиксированном по формулам § 1, п. 13.

Пусть точка разрыва Возьмем простейшие формулы для и

Воспользуемся формулой (87) § 1, п. 13 при

Учитывая, что непрерывна в точке разрыва находим

Подставляя это выражение в формулу (17), получим Из (14) видно, что

3. Устойчивость и сходимость.

Чтобы не завышать требований гладкости коэффициентов и решения при оценке порядка точности схемы (7) — (9), используем различные априорные оценки для операторно-разностной трехслойной схемы

Здесь линейные операторы, заданные на гильбертовом пространстве (см. гл. VI), абстрактные функции со значениями в элемент . В нашем случае множество сеточных функций, заданных на и обращающихся в нуль на границе, при Скалярные произведения имеют вид

Будем использовать следующие нормы:

В нашем случае операторы как показывает сравнение (7) и (20), равны

Оператор А — самосопряженный и положительно определенный, для его нормы верна оценка (см. § 2, п. 6)

Схема (20) устойчива при условии (см. гл. VI, § 2)

где произвольное число, не зависящее от Это условие или

будет выполнено при

В гл. VI, § 2 будут получены следующие оценки для задачи (20):

Эти оценки имеют место для схемы с весами (20), если а

В § 2, п. 4 для равномерной сетки были получены оценки, которые в случае неравномерной сетки принимают вид

Так как самосопряженный оператор и

то

Представим решение z задачи (11) -(13) в виде где удовлетворяют условиям

Из следуют оценки для

где

Теорема 1. Пусть имеют разрывы первого рода на конечном числе прямых параллельных оси координат а в областях

коэффициенты и решение являются столь гладкими функциями, что выполнены условия (19) и (15). Тогда, если выполнено условие (22), то схема (7) — (9) на специальных последовательностях неравномерных сеток равномерно сходится со скоростью так что для решения задачи (11) имеет место оценка

Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться априорными оценками (21) и (22) для и учесть соотношения (15) и (19).

Замечание 1. Теорема 1 сохраняет силу, если вместо (7) взять схему

где постоянный оператор (регуляризатор, см. гл. VI,

§ 2). В этом случае Достаточное условие устойчивости (21) будет выполнено, если

При оценке погрешности аппроксимации для этой схемы изменится лишь формула (14) для вместо надо написать где о есть (27).

В гл. VI, § 2 для схемы (20) при получена априорная оценка

где Она верна при условиях:

3) удовлетворяет условию Липшица по с постоянной

Априорная оценка (28) может быть использована при выяснении порядка точности схемы на произвольной последовательности сеток, когда точки разрыва вообще говоря, не совпадают с узлами сетки сол. Выражение — есть, очевидно, решение задачи

В § 2 получены оценки для до и в случае

где положительные постоянные, зависящие только от

Оценки (28) и (29) используются для доказательства того факта, что схема с весами сходится в классе разрывных функций при в сеточной норме с той же скоростью по что и соответствующие стационарные задачи

Порядок точности по есть