7. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем.
Использование разностных схем позволяет свести решение задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом правые части уравнений, краевые и начальные данные, которые мы будем в дальнейшем называть одним общим термином — входные данные — задаются с определенной погрешностью. В процессе самого численного решения системы также неизбежны ошибки, связанные с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нарастали в процессе вычислений и не приводили к искажению решения.
Схемы, которые в процессе счета усиливают начальные погрешности, именуются неустойчивыми и не могут быть использованы на практике.
Прежде чем дать определение устойчивости разностной схемы по входным данным, к понятию которого мы интуитивно подошли, приведем несколько примеров. Пример 1.
Точным решением задачи (44), как нетрудно видеть, является функция 
Задачу (44) на равномерной
сетке 
аппроксимирует разностная задача
Задачу (45) можно переписать в виде
Отсюда следует
Рассмотрим фиксированную точку х и выберем такую последовательность шагов 
чтобы х все время оставалось узловой точкой, 
Тогда при измельчении сетки, 
номер 
соответствующий выбранной нами точке х, неограниченно возрастает.
Вычислим значение у в этой точке
В силу разложения
имеем
Из последнего равенства видно, что решение разностной задачи (45) непрерывно зависит от начальных данных. В таких случаях будем говорить, что разностная схема устойчива по начальным Данным.
Пример 2. Неустойчивая схема. Для задачи (44) рассмотрим схему
где 
числовой параметр. Так как схема трехточечная (разностное уравнение имеет второй порядок), то помимо 
следует задать 
При любом а схема (46) имеет, по крайней мере, первый порядок аппроксимации. Если положить 
то 
Частные решения разностного уравнения (46) ищем в виде 
Подставляя 
в (46), получим для 
квадратное уравнение
которое имеет два различных корня
Общее решение уравнения (46) имеет вид
Полагая 
и учитывая, что 
найдем постоянные А и В:
Предположим, что 
Тогда получим
Как и в рассмотренном выше примере, зафиксируем точку х и выберем последовательность сеток 
таких, чтобы 
Нетрудно видеть, что
т. е.
Так как 
то при 
первое слагаемое неограниченно возрастает. Не спасает положение и выбор 
при котором 
поскольку функция 
при любом конечном показателе 
Можно, наконец, выбрать 
так, что 
Для этого достаточно положить 
Однако в процессе вычислений из-за ошибок округления, решение 
неизбежно появляется, что приводит к неустойчивости указанного типа. При фиксированном 
эта схема приводит к нарастанию решения с ростом 
Сгущение сетки (уменьшение 
приводит к нарастанию ошибок. Малое изменение начальных данных приводит при 
к неограниченному возрастанию решения задачи в любой фиксированной точке х.
Разобранные примеры позволяют сделать вывод, что понятие устойчивости по входным данным совпадает с понятием непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных при 
