9. Локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами.
Укажем, как применяется локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами. При этом достаточно указать лишь изменения в формулах для операторов
считая, что рассматривается задача (33). Локально-одномерная схема всегда записывается в виде (37), (38),
1) Линейное уравнение параболического типа. Пусть в задаче (33)
В задаче (37), (38) меняется лишь формула для
Коэффициент
выбирается так, чтобы
имел второй порядок аппроксимации на регулярном шаблоне,
например, можно взять
Теоремы 2 и 3 сохраняют силу.
2) Квазилинейное уравнение параболического типа. Пусть в задаче (33)
Возможны два способа аппроксимации оператора
Для определения
получается нелинейное уравнение, которое решается тем или иным итерационным методом; каждая итерация находится при помощи прогонки.
Для
получаем линейные уравнения, решаемые методом прогонки. Что касается устойчивости и сходимости, то при дополнительных предположениях относительно ограниченности производных
имеет место равномерная сходимость со скоростью
Локально-одномерные схемы можно применять и в случае третьей краевой задачи. Если, например, область
есть прямоугольник со сторонами
и 12 (или ступенчатая область), то уравнения (37) пишутся не только во внутренних узлах сетки, но и на соответствующих границах. Так, например, если на стороне
прямоугольника
задано краевое условие
то при
уравнение (37)
пишется и при
причем в узле
полагаем
Этот алгоритм предложен И. В. Фрязиновым [2], который показал, что полученная локально-одномерная схема сходится равномерно со скоростью