3. Аппроксимация «многомерной» задачи Коши системой «одномерных» задач Коши.

Обратимся к задаче (7). Пусть на заданы однородные граничные условия. Будем

рассматривать функцию как функцию х в качестве элемента некоторого линейного нормированного пространства Тогда будет линейным оператором в этом пространстве, абстрактной функцией со значениями в для всех Вместо частной производной в (7) можно писать обыкновенную производную по

В результате мы приходим к абстрактной задаче Коши:

где линейный оператор в банаховом пространстве Область определения оператора является всюду плотной в и состоит из функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям на Область значений оператора принадлежит

Пусть представлен в виде суммы

линейных операторов пересечение областей определения которых есть

В этом случае решение задачи Коши (14) можно свести к последовательному решению задач Коши того же типа, по с операторами вместо

Остановимся на двух способах такого сведения. Пусть на отрезке введена сетка

с шагом По аналогии с п. 2, представим в виде суммы и перепишем (14) в виде

На отрезке введем промежуточные значения рассмотрим систему задач Коши

с начальными условиями

полагая Будем называть решением этой задачи при функцию

Эта конструкция (совпадающая с конструкцией из п. 2) была использована (см. А. А. Самарский [4]-[16], [19]) при построении экономичных аддитивных схем для многих многомерных задач математической физики и, в частности, для параболического уравнения (см. п. 5). Исследование связи задач (14) и (16), (17) показало, что решение задачи (16), сходится при к решению задачи (14), причем точнее где не зависит от норма в (см. Н. Н. Яненко [5], Н. Н. Яненко, Г. В. Демидов [1]).

Если оператор зависит от (является переменным), то более точным оказывается второй способ аппроксимации задачи (14) системой задач Коши (А. А. Самарский [15]).

На всем промежутке последовательно решаются задач Коши

с начальными данными

Решением задачи (18) при является, по определению, элемент

При полагаем

Пусть известно Из первого уравнения при определяем которое затем используем в качестве начального значения при для решаем второе уравнение (при ) и т. д. После решения всех задач найдем Это и есть решение системы уравнений (18) -(20) при .

Если не зависят от то обе задачи (16), (17) и (18)-(20) эквивалентны.

Покажем, что задача (18), (19) аппроксимирует задачу (14) в суммарном смысле. Пусть решение задачи Коши решение задачи (18), (19). Рассмотрим их разность

Подставляя в (18), (19), получаем

где

Отсюда видно, что

Учитывая, что для любого получаем

где символ Кроиекера. Таким образом,

и, следовательно,

т. е. система дифференциальных уравнений (18), (19) аппроксимирует задачу Коши (14) в суммарном смысле с первым

порядком при этом требуется существование и ограниченность (в некоторой норме)

Представляет интерес сравнение решения задачи (18) — (20) с решением исходной задачи.

Приведем без доказательства некоторые результаты.

А. Пусть и все

Если постоянные операторы попарно перестановочны, то при любых имеет место равенство

где решение задачи — решение задачи (14).

Если же зависят от то (21) имеет место при перестановочности операторов взятых в разные моменты времени, так что

для любых

Приведем несколько примеров. Пример 1. Рассмотрим задачу Коши

где число. Очевидно, что

Представим а в виде суммы и напишем задачу

где любое число. Решая эти уравнения, находим Отсюда видно, что

Пример Гольдин, Данилова, . Калиткин [1]). Рассмотрим задачу Коши для уравнения переноса

Решение этой задачи есть бегущая волна

если дважды дифференцируемая функция.

Так как операторы перестановочны, то

где решение системы уравнений

В самом деле, решение первого из этих уравнений имеет вид

Из второго уравнения находим

Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

Ее решение дается формулой

где функция источника, равная

Напишем систему уравнений, соответствующую (18) -(20). Нетрудно заметить, что

Подставляя из (22) в (23), получим

при любом

Б. Пусть операторы и неперестановочны. Тогда справедлива оценка

при дополнительном условии «гладкости»

Возникает вопрос, нельзя ли повысить точность по без существенного усложнения составной задачи Коши?

Составную задачу Коши (18) схематически запишем следующим образом

Рассмотрим симметризованную составную задачу Коши, представляющую собой цепочку задач Коши

что соответствует представлению оператора в виде суммы

Эта задача имеет второй порядок точности по

при некотором дополнительном требовании гладкости начального вектора вида и условиях гладкости по

Идея симметризации была развита И. В. Фрязиновым [6], который построил и исследовал ряд аддитивных схем повышенного порядка точности для уравнений параболического типа в ступенчатых областях, составленных из -мерных параллелепипедов. При этом оказалось, что для выполнения требования суммарной аппроксимации требуется вводить поправки к естественным краевым значениям.

Итак, решение задачи (14) сводится к решению последовательности более простых задач Для их решения

можно использовать как аналитические, так и приближенные методы, в частности, метод конечных разностей.

В случае, когда попарно перестановочны, точность приближенного метода решения задачи (14) целиком зависит от того, с какой точностью мы решаем каждую из промежуточных задач (18) номера а. Следует подчеркнуть, что проведенное выше изложение справедливо для случая однородных краевых условий. Если краевые условия неоднородны, то точность составной задачи Коши (18) — (20) существенно зависит от способа задания краевых условий для Это же замечание относится и к разностным аналогам задачи (18)-(20).

Разностная аппроксимация каждой из задач (18), например, простейшей двухслойной схемой с весами приводит к аддитивной разностной схеме. Она является экономичной, если экономична каждая из промежуточных схем номера а. Таким способом можно, в частности, получить схему, формально совпадающую при со схемой расщепления Н. Н. Яненко [1] (схема (34) из § 2), но трактуемую как аддитивная схема. При этом не возникает никаких трудностей ни с постановкой краевых условий для ни с заданием правых частей

Если одномерные дифференциальные операторы, то соответствующую аддитивную схему мы называем локально-одномерной схемой. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности исследуется ниже.