Глава IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

В § 1 настоящей главы изучается разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона. Излагаются способы аппроксимации оператора Лапласа и постановка разностных граничных условий на регулярных и нерегулярных сетках. Установлен принцип максимума и на его основе доказана равномерная сходимость со скоростью построенных разностных схем в случае произвольной области.

В § 2 получены некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих оператор Лапласа и эллиптический оператор со смешанными производными.

Изучению разностных аппроксимаций для эллиптических уравнений, и особенно для уравнения Лапласа, посвящена обширная литература. Укажем лишь некоторые литературные источники: В. Б. Андреев [1], [2], [5], [7], В. В. Бадагадзе [1], Н. С. Бахвалов [1]-[3], И. С. Березин и Н. П. Жидков [2], В. Вазов и Д. Форсайт [1], Р. Варга [1], Е. А. Волков [1]-[3], Л. В. Канторович и В. И. Крылов [1], Коллатц [2], В. И. Лебедев [2], [3], Л. А. Люстерник [1], Г. И. Марчук [1], Ш. Е. Микеладзе [1], С. Г. Михлин и X. Л. Смолицкий [1], А. А. Самарский и И. В. Фрязинов [2], В. К. Саульев [1].

§ 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона

Перейдем к изучению разностных схем для решения задачи Дирихле

где есть -мерная конечная область с границей

1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа.

Начнем с построения разностного аналога оператора Лапласа

на плоскости

В точке каждый из операторов или аппроксимируем трехточечным оператором или

где знак аппроксимации, заданные числа (шаги поосям

Оператор определен на регулярном трехточечном шаблоне

оператор на регулярном трехточечном шаблоне

Рис. 8. Регулярный шаблон «крест».

Используя (3) и (4), заменим оператор Лапласа (2) разностным оператором

который определен на пятиточечном шаблоне «крест», состоящем из узлов

Этот регулярный шаблон изображен на рис. 8. Здесь точка — точка Из (3) — (5) и рис. 8 следует, что

В частности, при (на квадратном шаблоне) имеем

Вычислим погрешность аппроксимации оператора Лапласа (2) разностным оператором (5). Так как (см. гл. I, § 1) при

то

Отсюда следует, что

если — любая функция, имеющая не менее четырех ограниченных (хотя бы в прямоугольнике при производных по Таким образом, разностный оператор (5) аппроксимирует оператор Лапласа (2) со вторым порядком на регулярном шаблоне «крест».

Аналогично строится разностная аппроксимация -мерного оператора Лапласа

Заменяя трехточечным разностным оператором получаем

так что

где Здесь (или точка, в которую переходит точка при сдвиге по направлению направо (или налево) на отрезок длины (рис. 9).

Рис. 9.

Шаблон для оператора (10) состоит, очевидно, из точек (из 7 точек при а погрешность аппроксимации имеет второй порядок.

Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию оператора Лапласа на нерегулярном шаблоне «крест». В случае двух измерений этот шаблон состоит из пяти точек

где причем по крайней мере, для одного а (рис. 10).

Каждый из операторов аппроксимируем по трем точкам

и

соответственно. Для этого воспользуемся выражениями (см. гл. :

где

Разностный оператор Лапласа на нерегулярном шаблоне будет иметь вид

Если, например, и т.д. Чтобы не выписывать аргументов (это слишком громоздко при введем обозначения

Рис. 10. Нерегулярный шаблон «крест».

Рис. 11.

На рис. 11 показано расположение точек Выражение для можно записать в виде

В гл. I, § 1 было получено выражение для Используя его, сразу напишем

Таким образом, на нерегулярном шаблоне разностный оператор определяемый по формуле (13), аппроксимирует оператор Лапласа с первым порядком.