Глава VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В гл. VI изучается устойчивость по начальным данным и по правой части двухслойных и трехслойных разностных схем с операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Методом энергетических неравенств получены эффективные достаточные условия устойчивости и построены соответствующие априорные оценки. Установлена также необходимость некоторых условий устойчивости.

§ 1. Классы устойчивых двухслойных схем

1. Постановка задачи.

При изучении устойчивости двухслойных схем будем пользоваться их канонической формой

Пусть - вещественное пространство, скалярное произведение, норма в Операторы схемы в общем случае зависят от Условимся зависимость от явно не указывать.

Наша ближайшая задача — найти достаточные условия устойчивости схемы (1) и получить априорные оценки решения задачи (1), выражающие устойчивость схемы по правой части и начальным данным.

Решение задачи (1) можно представить в виде суммы — решение однородного уравнения с начальным условием

а у — решение неоднородного уравнения с нулевым начальным условием:

Оценка решения задачи (1а)

означает, что схема (1) устойчива по начальным данным, а оценка решения задачи (16)

выражает устойчивость схемы (1) по правой части.

Мы будем также пользоваться и другим определением устойчивости схемы по правой части

где Из (2) и (3) или (4), в силу неравенства треугольника следует априорная оценка

или

В качестве нормы будем пользоваться энергетическими нормами

Будем говорить, что схема (1) устойчива в (или если выполнено (5) с

2. Исходное семейство схем.

Исследование устойчивости будем проводить в некотором исходном семействе разностных схем.

Операторы считаем ограниченными линейными операторами, заданными на всем пространстве Всюду будем предполагать, что разностная задача (1) разрешима при любых входных данных т. е. что существует ограниченный оператор с областью определения

Для упрощения выкладок детальное изложение проведем в предположении, что

1) операторы не зависят от (постоянные операторы),

2) оператор В — положительный, ,

3) А — самосопряженный и положительный оператор,

Условия и требование разрешимости выделяют из множества всех возможных схем (1) семейство допустимых схем (исходное семейство).

Условие 1) может быть ослаблено, т. е. будем иногда рассматривать операторы зависящие от

3. Энергетическое тождество.

Исследование устойчивости схемы (1) проведем методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1) скалярно на

Пользуясь формулой

перепишем (9) в виде

Лемма 1. Пусть А — самосопряженный оператор. Тогда

В самом деле

так как в силу самосопряженности А.

Подставляя (12) в получим энергетическое тождество для схемы (1):

4. Устойчивость по начальным данным в ...

Теорема 1. Если для некоторой схемы (1) из исходного семейства выполнено условие

то эта схема устойчива в по начальным данным с постоянной так что для решения задачи (1а) имеет место оценка

Доказательство. При тождество (13) (для принимает вид

В силу (14) первое слагаемое в левой части этого тождества неотрицательно. Отбрасывая указанное слагаемое, получим

неравенство

или

где

Условие (14) выделяет из исходного семейства класс устойчивых в схем.

Покажем, что условие (14) и необходимо для устойчивости схемы (1) в по начальным данным. Для этого нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2. Пусть оператор в имеющий ограниченный обратный. Тогда эквивалентны следующие условия:

В самом деле, пусть выполнено (16), т. е. или

Тогда Полагая получим

или Обратный ход рассуждений очевиден.

Теорема 2. Пусть схема (1) принадлежит исходному семейству схем и, кроме того, оператор А — положительно определенный. Тогда условие (14) необходимо для устойчивости схемы (1) по начальным данным в На с постоянной

Доказательство. Сведем сначала схему (1а) к явной схеме

где .

Перепишем (1а) в виде Так как самосопряженный положительно определенный оператор, то существуют операторы (см. теоремы 3 и 4 из гл. I, § 3), которые также являются самосопряженными положительными операторами. Поэтому уравнение (1а) эквивалентно уравнению

которое совпадает с (18).

Устойчивость схемы (18) в эквивалентна устойчивости в схемы (1а), так как

Пусть схема устойчива в выполнено (15). Тогда для схемы (18) выполнено неравенство в частности, при имеем

Применяя лемму 2, получим неравенство (17) с Покажем теперь, что неравенство (17), где эквивалентно неравенству (14). Так как то

где

Это и завершает доказательство теоремы. Объединяя теоремы 1 и 2, видим, что верна Теорема 3. Пусть схема (1), где А — положительно определенный оператор, принадлежит исходному семейству схем. Тогда условие (14) необходимо и достаточно для ее устойчивости по начальным данным в с постоянной

Напомним, что оператор В является, вообще говоря, несамосопряженным.

5. Устойчивость по начальным данным в ...

Напишем второе энергетическое тождество для схемы (1а), предполагая, что и В — самосопряженный оператор, Умножим скалярно (1а) на

Учитывая формулы

и пользуясь леммой 1, найдем

После подстановки этих выражений в (19) получим

Теорема 4. Пусть в схеме (1) операторы не зависят от Тогда условие (14) достаточно для устойчивости схемы (1) по начальным данным в

В самом деле, пусть Тогда

6. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным.

При изучении вопроса о необходимых и достаточных условиях устойчивости двухслойной схемы эффективным оказался метод сведения неявной схемы к явной схеме с последующей оценкой нормы оператора перехода явной схемы. Простейший пример применения этого метода с постоянной был рассмотрен в п. 4.

Нам теперь понадобится несколько отличное от прежнего определение устойчивости двухслойной схемы по начальным данным. Везде в этом пункте будем предполагать, что операторы существуют, ограничены и (о достаточных условиях существования обратного оператора см. в гл. I, § 3, п. 2).

Пусть постоянный оператор. Будем говорить, что схема (1) -устойчива в по начальным данным, если для решения задачи (1а) при любых выполнено неравенство

где постоянная, не зависящая от и от выбора Если схема (1а) -устойчива в то она устойчива в

с постоянной при при

Двухслойную неявную схему (1) с постоянными операторами можно при помощи простых преобразований свести к явной схеме, которую запишем в форме

где 5 — оператор перехода слоя на слой). Возможны три варианта преобразования:

1) Если то полагаем

2) Если , то

3) Если перестановочны, то

В самом деле, запишем схему (1) в виде

Если то существует корень из оператора А. Действуя на уравнение (24) оператором и полагая получаем схему (21) с условиями (22). Аналогично, в случае действуем на (24) оператором и вводим обозначения (23).

Если операторы перестановочны, то

Таким образом, мы убедились, что в ряде случаев неявная схема (1) сводится к явной схеме. Из (22) видно, что а из (23) следует Поэтому исследование устойчивости в или неявной схемы сводится к исследованию устойчивости явной схемы в При изучении устойчивости по начальным данным рассматриваем задачу:

Отсюда непосредственно следует

Это неравенство соответствует оценке

где один из операторов или

Вопрос ставится так: какими свойствами должен обладать оператор С, чтобы выполнялось условие

(условие -устойчивости схемы

Рассмотрим здесь случай самосопряженного оператора С. Случай при был рассмотрен в п. 4.

Будем пользоваться следующим определением нормы оператора

В силу леммы 3 из гл. I, § 3 и из условия следует Определение (26) дает:

и следовательно, — (так как или

Лемма 3. Если то условия (27) и

эквивалентны.

Мы убедились в том, что из (28) следует (27). Обратный ход рассуждений очевиден.

Обратимся к неявной схеме (1а).

Лемма 4. Если то условия (27) и

равносильны при Если же, кроме того, А — положительно определенный оператор, то (27) и (29) равносильны при

Доказательство. Первое утверждение леммы следует из тождеств

где Для доказательства второго утверждения заметим, что если С — самосопряженный неотрицательный оператор и существует, то неравенства и эквивалентны. Действительно, обозначив запишем неравенство в виде

т. е.

Таким образом, если существует, то условия (27) эквивалентны следующим:

Положив здесь имеем

Обозначив получим отсюда

что и требовалось.

Теорема 5. Пусть постоянные операторы и

Тогда условия

необходимы и достаточны для -устойчивости в схемы (1а):

а если, кроме того, А — положительно определенный оператор, то и для -устойчивости в

Для доказательства теоремы достаточно свести схему (1а) к явной схеме (25) (случай или и затем воспользоваться леммами 3 и 4.

Отметим, что необходимые и достаточные условия устойчивости в данном случае совпадают. Энергетический метод не позволяет получить такой результат. Более того, энергетическим методом удается доказать устойчивость (25) или (1а) при только при достаточно малом

7. Метод разделения переменных.

Пусть — конечномерное (скажем, -мерное) пространство. Если постоянные и самосопряженные операторы,

то исследование устойчивости может быть проведено методом разделения переменных по аналогии с гл. II, § 1.

Пусть собственные значения, собственные функции следующей задачи (см., например, Ф. Р. Гантмахер [1]):

причем

Решение задачи (1а) будем искать в виде суммы

Подставляя это выражение в и учитывая (31), получаем

Замечая, что будем иметь

или

Требование устойчивости с постоянной будет выполнено, если или

Условия (32) эквивалентны энергетическому неравенству или

В самом деле,

Отсюда и следует эквивалентность неравенства В условиям (32).

Таким образом, мы показали, что при условиях (30) неравенство

достаточно для устойчивости в схемы (1а):

Следует подчеркнуть, что требование самосопряженности оператора В является здесь обязательным, в то время как для применения энергетического метода достаточно лишь положительности оператора В.

Аналогично доказывается устойчивость схемы (1а) в если выполнены условия (30), (33). Нетрудно показать, что условия

обеспечивают -устойчивость схемы (1а):

Для этого достаточно потребовать

Прежде чем применять метод разделения переменных, можно свести схему (1а) к явной схеме или Тогда получим обычную задачу на собственные значения

8. Некоторые вспомогательные неравенства.

Пусть сеточные функции, заданные при

Лемма 5. Пусть неотрицательные функции. Если неубывающая функция то из неравенства 1

следует оценка

Доказательство. Пусть решение системы уравнений

Нетрудно заметить, что для всех . В самом деле,

Из (34) и (36) видно, что из неравенств при следует Заменим в на и вычтем из (36) полученное уравнение. Тогда для получим разностное уравнение

Отсюда находим

Так как и, следовательно,

Лемма доказана.

Замечание. Лемма 5 верна, если вместо (34) дано неравенство

так что

Лемма то из (34) следует

Положим Тогда из (34) получим неубывающая функция. Для оценки пользуемся леммой 5.

Леммы 5 и 6 будут использованы при доказательстве устойчивости схемы (1) по правой части.

9. Устойчивость по правой части.

В гл. V, § 2 была доказана теорема о том, что из устойчивости по начальным данным в норме следует устойчивость по правой части, взятой в норме Отсюда следует

Теорема 6. Если выполнено условие (14), то схема (1) из исходного семейства схем устойчива по правой части и для решения задачи (1) справедлива априорная оценка

Если, кроме того, оператор В самосопряжен, то

Покажем, что, кроме того, имеют место априорные оценки (3), (4), где

Воспользуемся энергетическим тождеством (13) для схемы (16).

Лемма 7. Если А — постоянный, самосопряженный и положительно определенный оператор, то для любых из имеет место оценка:

где число.

Представим в виде

и воспользуемся леммой 1 из гл. V, § 1 для оценки второго слагаемого. Тогда получим (39). Подставим (39) в (13):

Пусть выполнено условие Тогда

или

Просуммируем это неравенство по

При член в (13) преобразуется иначе. Так как то

и энергетическое тождество (13) дает

так, что

Складывая (40) и (41), получаем

При помощи леммы 1 из гл. V, § 1, оценим

и положим Тогда

Теперь нам нужна лемма 5 из п. 8. Применяя ее к (42) и выбирая (например, ), получаем

где зависит только от Для оценки решения задачи (1) надо учесть (15).

Тем самым доказана

Теорема 7. Если выполнено условие (14) и А — положительно определенный оператор, то схема (1) из исходного

семейства схем устойчива по правой части и для решения задачи (1) при верна априорная оценка

При каких условиях имеет место устойчивость в норме Ответ на этот вопрос дает Теорема 8. Пусть выполнено условие

где любое положительное число и схема (1) принадлежит исходному семейству схем. Тогда для задачи (1) верна априорная оценка

Доказательство. Обратимся к тождеству (13). Неравенство Коши — Буняковского и -неравенство дают:

Подставим эту оценку в (13) и спользуем условие (44):

Суммируя затем по ли учитывая, что получаем

Отсюда и из (15) следует (45). Теорема 8 доказана.

Замечание. Теоремы 7 и 8 сохраняют силу и в случае переменного оператора а теорема 4 справедлива для переменного оператора Это видно из доказательств указанных теорем.

10. Устойчивость схемы с весами.

Покажем, как надо пользоваться доказанными выше теоремами на примере схемы с весами:

В гл. V, § 2, п. 3 схема (46) была приведена к каноническому виду

Сравнивая (46) с (1), видим, что

Пусть существует оператор Действуя на (47), получим вторую каноническую форму для схемы с весами:

Записью в виде (47) будем пользоваться в случае самосопряженного оператора А, (48) — в случае несамосопряженного положительно определенного оператора

Пусть Покажем, что если

В самом деле, так как или то

Таким образом, при схема (46) устойчива в по начальным данным. В частности, для явной схемы (при из условия следует т. е. явная схема устойчива в при В силу теоремы 2 это условие не только достаточно, но и необходимо для устойчивости с постоянной если положительно определенный оператор.

Пример 1. Рассмотрим схему с весами для одномерного уравнения теплопроводности

с краевыми условиями первого рода. В этом случае Оператор (см. гл. V, § 1, п. 1), его норма Условие (49) принимает вид

и совпадает с условием, полученным в гл. II методом разделения переменных. Явная схема устойчива при Если

то

Теорема 9. Пусть постоянный положительно определенный оператор. Тогда для схемы (46) при условии (49) верна априорная оценка (43). Если и

где постоянная, не зависящая от то для схемы (46) верна оценка (45).

Первое утверждение следует из теоремы 7 для схемы (47), так как при второе утверждение — из теоремы 8, так как неравенство (44) выполняется при В самом деле,

Теорема 10. Пусть положительно определенный оператор и выполнено условие (49). Тогда для схемы (46) верна оценка

Если же выполнено условие (50), то

Доказательство, а) Возьмем схему с весами в форме (48) и напишем для нее априорную оценку (43), учитывая при этом, что постоянный оператор:

Подставляя сюда получаем (51).

б) Получим неравенство (51а). По аналогии с (13) напишем для (48) энергетическое тождество (учитывая, что

Обобщенное неравенство Коши — Буняковского и -неравенство дают:

Из условия (50) следует, что

В самом деле,

при а При этом мы учли оценку

следует из неравенства (см. гл. I, § 3), если положить

Если учесть (54), то из (52) получим

Подставляя сюда (53), будем иметь

или Суммирование по приводит к оценке (51) с

Рассмотрим теперь случай, когда -положительно определенный несамосопряженный оператор. Покажем, что для схемы (48)

если выполнено условие

Заметим, что для самосопряженного оператора А

Итак, пусть а 0,5. Тогда

Для доказательства неравенства (55) потребуется

Лемма 8. Пусть А — положительно определенный оператор, для которого выполнено (56). Тогда

Доказательство. 1) Положим Тогда (56) дает т. е.

2) Из неравенств и (56) следует, что

Лемма 9. Пусть А — положительно определенный оператор и выполнено (56). Тогда

Доказательство. 1) Так как при а то, применяя к схеме (48) теорему 1, получим, что для решения задачи (48) при любых справедлива оценка

Заметим теперь, что схему (48) при можно записать в виде

Отсюда и из (60) получаем оценку (57).

2) Для оценки где достаточно получить неравенство вида Тогда

и, следовательно, Если то и Если то

Так как, согласно лемме то

и, следовательно, Отметим, что оценка (58) верна для любого несамосопряженного оператора Лемма доказана. Из (60) и леммы 9 следует

Теорема 11. Пусть положительно определенный оператор и выполнено условие (56). Тогда для схемы (46) при верна априорная оценка

Если одновременно выполнены два условия

то оценка (61) выполняется при

Для доказательства запишем схему (46) в виде

где

Используя неравенство треугольника и оценки получаем

откуда и следует (61).

Замечание. Мы всюду предполагали, что оператор А положительно определен или, по меньшей мере, положителен. Однако можно получить некоторые априорные оценки для схемы (1) при условии, что А — полуограниченный оператор:

Введем оператор

Он положительно определен:

Перепишем схему (1) в виде

Пусть выполнены условия теоремы 8, так что

Тогда верна априорная оценка

где

Подставляя это неравенство в предыдущую оценку, получим

или

Так как монотонно неубывающая функция, то в силу, леммы 5 имеем или

Постоянную с выберем так, чтобы постоянная со была минимальна. Из условия минимума функции с следует, что при этом

Тем самым доказана устойчивость схемы (1) в случае При этом важно отметить, что 1) достаточное условие устойчивости имеет вид схема устойчива при любых

Рассмотрим, например, схему с весами. Тогда и условие выполнено при

11. Априорные оценки в случае переменного оператора А.

До сих пор мы предполагали при изучении устойчивости в что оператор А постоянный, т. е. не зависит от Если зависит от то будем требовать, чтобы выполнялось следующее условие липшиц-непрерывности по

для всех где положительная постоянная, не зависящая от

Исходное семейство схем определим требованиями

Как и ранее, предполагаем существование оператора что означает разрешимость задачи (1) при любых входных данных

Это семейство, очевидно, содержит исходное семейство, введенное в п. 2.

Исследования, проведенные методом энергетических неравенств, показывают, что условия

оказываются достаточными для устойчивости схемы (1) с переменными операторами При этом сами нормы оказываются зависящими от

Поэтому надо говорить об устойчивости в (вместо и

Исходным для исследования является энергетическое тождество (13), где Чтобы получить рекуррентное неравенство, преобразуем выражение

и оценим второе слагаемое в правой части при помощи (62):

Подставив эту оценку в (13), получим энергетическое неравенство:

где

Если выполнено условие (64), то из (66) при следует:

Энергетическое тождество при записывается в виде

Отсюда при условии (64) и получим

В результате (67) и (68) дают для задачи (1) при

Проведенные выше рассуждения показывают по существу единственное принципиальное отличие случая переменных операторов от случая постоянных операторов.

Суммируем результаты в виде двух теорем — аналогов теорем 7 и 8.

Теорема 12. Пусть выполнены условия (63), (64) и А — положительно определенный оператор. Тогда для решения задачи (1) верна оценка

где зависят только от

Теорема 13. Пусть выполнены условия (63) и (65). Тогда для схемы (1) верна априорная оценка

Сравнивая (69) и (70) с (43) и (45), видим, что оценки (43) и (45) для случая постоянного А получаются из (69) и (70) пои

Если вместо (64) ставится условие

где не зависит от то оценки (69) и (70) сохраняют силу при достаточно малом а постоянные зависят только от На доказательстве этого факта останавливаться не будем.

12. Пример.

Для того, чтобы пользоваться изложенной выше общей теорией устойчивости для конкретных разностных схем, необходимо:

1) привести двухслойную схему к каноническому виду (1), т. е. выделить операторы А и ввести пространство сеточных функций и исследовать свойства (положительность, самосопряженность и др.) как операторов, заданных на проверить принадлежность схемы к исходному семейству схем, а также проверить выполнение достаточных условий устойчивости (64) или (65); 4) если эти условия выполнены, то данная схема устойчива и для нее справедливы априорные оценки, например, (69) и (70).

Первый шаг состоит в приведении схемы к каноническому виду. Заметим, что полученные выше достаточные условия открывают возможность написания устойчивых разностных схем сразу в каноническом виде.

В качестве упражнений на приведение схем к каноническому виду можно рекомендовать различные схемы (например, для

уравнения теплопроводности), которые имеются в книгах В. К. Саульева [1] и В. Вазова, Д. Форсайта [1].

Рассмотрим здесь лишь один пример для уравнения теплопроводности

В книге В. К. Саульева [1] предложена асимметричная схема, заданная на сетке

Она записана в виде

где — параметр.

1) Приведем схему к каноническому виду. Обозначая перепишем (71) сначала в виде

Учитывая затем, что

подставляя эти выражения в (72) и опуская индекс будем иметь

После деления (73) на получаем

2) Пусть — пространство сеточных функций (примеры 1 и 2, гл. V, § 1, п. 1), заданных на со скалярным произведением Операторы схемы согласно гл. V, § 1, п. 1, являются положительно определенными операторами, причем Оператор А самосопряжен,

3) Операторы постоянны. Схему (74) удобно записать в виде

так что

Условие выполнено при Действительно, для любого

т. е.

4) Так как то схема (71) устойчива в (в сеточной норме при

Наряду со схемой (71) В. К. Саульев [1] предложил другую асимметричную схему, которая после приведения ее к канонической форме запишется так:

Так как то эта схема устойчива при том же условии (76). Из (76) видно, что асимметричные схемы безусловно устойчивы при