Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Теория итерационных двухслойных схем общего вида1. Итерационная схема с чебышевским набором параметров.Пусть дано операторное уравнение
где Для приближенного решения уравнения (1) применяется двухслойная итерационная схема
с произвольным начальным вектором
где Из (3) и (4) следует положительная определенность оператора А. Всюду в этом параграфе будем считать, что оператор В не зависит от номера итерации Изучение сходимости итераций по схеме (2) сводится к оценке при
Неявная схема (2) эквивалентна явной схеме (см. гл. VI)
где С — один из операторов
или
Из (6) находим
где разрешающий оператор В силу условий (3) и (4) оператор С — самосопряженный, с границами
Поэтому норма операторного полинома
Параметры Нам понадобятся некоторые свойства полиномов П. Л. Чебышева (см. В. Л. Гончаров [1])
Для вычисления полиномов высоких степеней можно использовать рекуррентное соотношение
Справедлива формула
которая доопределяет Корнями полинома
Рассмотрим теперь полином
Ставится задача — среди таких полиномов найти полином, наименее отклоняющийся от нуля на отрезке
позволяет свести эту задачу к построению полинома, наименее отклоняющегося от нуля в промежутке Решением последней задачи (см. В.
где
Подставляя сюда выражение (13) для
Введем обозначения
и преобразуем
В результате получим
Потребуем, чтобы полиномы (15) и
Полином
Тем самым доказана Теорема 1. Пусть дан полином
где Тогда
При таком выборе
Таким образом задача об отыскании Вернемся к схеме (2). Из теоремы 1 следует, что для нормы разрешающего оператора
если параметры При этом справедлива оценка решения задачи (6)
которой соответствует следующая априорная оценка для решения задачи (5):
Отсюда видно, что через
При
Так, например, если рассматривается разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате
Схему (2) с указанной в (18) последовательностью параметров При исследовании сходимости итераций вместо неявной схемы (2) достаточно рассматривать явную схему
или
которая соответствует уравнению При изучении сходимости этой схемы с параметрами (18) мы предполагали, что вычислительный процесс является идеальным, т. е. вычисления ведутся с бесконечным числом знаков. Однако на самом деле вычисления ведутся с конечным числом знаков и на каждом этапе вычислений появляются ошибки округления, которые приводят к неустойчивости при достаточно больших Неустойчивость схемы (2) с параметрами (18) можно проиллюстрировать на следующем простом примере, сосчитанном на машине БЭСМ-4 (расчеты проведены Д. А. Гольдиной). Пример. Требуется решить систему разностных уравнений
В этом случае Возьмем 20 уравнений Результаты вычислений на БЭСМ-4 даны в таблице 1. В первой строке указан номер итерации к, во второй строке — величина
Итерационный процесс расходится, и при Таблица 1 (см. скан) Если брать параметры в обратном порядке, т. е. положить в формуле Таблица 2 (см. скан) Ошибки округления можно трактовать как возмущение правой части уравнения
и
В то же время
Установим эти формулы. Так как
Подставим сюда
Предположим, что Теорема 1 фактически выражает устойчивость схемы (2) по начальным данным. В случае реального вычислительного процесса, как показывают приведенные выше примеры, необходимо исследовать устойчивость итерационной схемы по правой части, а также устойчивость по начальным данным при переходе от Требование равномерной устойчивости по начальным данным гарантирует вычислительную устойчивость итерационной схемы. Поясним это утверждение. В результате ошибок округления находится не решение задачи (20), а решение
через
где
Достаточно убедиться в том, что величины
где
Потребуем, чтобы
и покажем, что это требование позволяет упорядочить множество параметров Параметры
где
Рассмотрим сначала случай, когда
Основной принцип построения «устойчивой» последовательности параметров
где
Будем определять
где При построении устойчивой последовательности
и рассмотрим последовательно множества из
Множество
Из формул для
Поэтому для задания последовательности Формулируем правило для вычисления
следует найти
после чего воспользоваться формулами для Таким образом, надо находить лишь Проиллюстрируем это правило. Итак, задано
Чтобы найти
Далее, положим
Применяя затем правило сдвига на
и т. д. Если, например, Если
Правило сдвига индексов вправо на
Перейдем теперь к доказательству устойчивости схемы (2) с последовательностью Множеству
где Нам понадобится норма произведения
сводится к нахождению максимума полинома Найдем выражение для
где
(см. скан) Учитывая затем, что
находим искомую норму
где
Перейдем к оценке
Отсюда и из формулы для
Сравнивая формулы для Рассмотрим сначала выражение
так как Аналогично найдем
Учитывая, что
получим
Поэтому для
и, наконец,
Полагая
Полагая теперь в
Таким образом, для решения задачи (21) верна оценка
Приведем некоторые результаты расчета по явной схеме с параметрами
Число уравнений
Таблица 3 (см. скан) Из этой таблицы виден немонотонный характер сходимости итераций. При переходе от итерации номера До сих пор мы рассматривали случай, когда Укажем без доказательства устойчивые наборы для
При больших При выборе различных комбинаций параметров следует проверять устойчивость получающихся схем путем оценки 2. Основная теорема для стационарных схем.Схемы с постоянными В их
обычно называют стационарными. Для
с оператором В этом случае
Задача об отыскании Теорема 2. Пусть
Тогда
где
Доказательство. Так как 5 самосопряженный оператор, то
где
Учитывая, что
и, следовательно,
Функция
что и требовалось доказать. Следствие. Для схемы (23) при оптимальном значении параметра
Замечание 1. Теорема 2 следует из теоремы 1, если положить
Замечание 2. Теорема 2 следует из необходимого и достаточного условия
и условия ограниченности С,
В самом деле, Из равенств Для выбора оптимального итерационного параметра 3. Вычисление нормы оператора перехода двухслойной схемы с весами.Рассмотрим оператор
где
где Найдем границы
Так как
так что
Воспользуемся теперь формулой
т. е.
Таким образом
Тот же результат можно получить, если записать схему
Отсюда и из (26) сразу находим
т. е. 4. Неявный метод переменных направлений для случая неперестановочных операторов.Перейдем ко второму, более сложному примеру применения теоремы 2. Пусть
где
Для решения уравнения
Для погрешности
Обозначая
с оператором перехода
Введем обозначения
Теорема 3. Пусть выполнены условия (29), где
Тогда для оператора перехода (32) при значениях параметров
верна оценка
т. е. для итерационной схемы (30) имеет место оценка
Доказательство. Нетрудно видеть, что из условий (34) следует положительность величин
так что
В результате преобразования (37) оператор (32) принимает вид
где
Для определения
каждую из которых запишем в каноническом виде
Параметр
где
Пользуясь формулой
Из (38) и (39) следуют формулы (35) для итерационных параметров Теорема доказана. Замечание. Теорема 3 остается справедливой, если вместо
При этом возможен Пример. В квадрате
где
квадратная сетка с шагом
Сформулируем разностную задачу Дирихле:
где Для решения этой задачи применим метод переменных направлений (29), где формально положим Пусть Рассмотрим оператор
Для погрешности Операторы
так что
Поэтому справедлива оценка (36), где
Скорость сходимости итераций равна
число итераций при
Обратимся снова к схеме (29). Исключим из уравнений (30) величину
Запишем эту схему в каноническом виде
Если Лемма 1. Оператор (32) можно представить в виде
причем С — положительно определенный оператор, удовлетворяющий условиям
где Доказательство. Первое утверждение леммы доказывается непосредственным вычислением. Докажем второе утверждение. Согласно теореме
Отсюда получаем
Решая неравенство
получаем
Отсюда и из (44) следуют неравенства (42), (43). Замечание. Если
где Таким образом, нам в этом случае известны постоянные эквивалентности операторов
5. Факторизованные итерационные схемы.Оператор В в итерационной схеме естественно выбирать в некотором допустимом семействе операторов так, чтобы 1) отношение
Тогда справедливы неравенства
с постоянными
Зная Оператор Свойством экономичности обладает факторизованный оператор Предположим, что самосопряженный оператор
Рассмотрим два случая: 1)
так что
2) Каждый случай исследуем отдельно. Рассмотрим сначала факторизованный оператор с треугольными операторами
Так как постоянные Будем предполагать, что оператор
Нетрудно заметить, что Лемма 2. При любых
В самом деле Оценка (51) принадлежит Е. С. Николаеву. Лемма 3. Пусть справедливы условия (50). Тогда выполняется операторное неравенство
Действительно,
Параметр со выберем из условия максимума отношения
Вычислим производную
Отсюда видно, что максимум
так как Найдем значение
Подставляя
Пусть
Для числа итераций при
Таким образом, доказана Теорема 4. Если выполнены условия (50), то итерационная схема (2) с
где Пример. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в единичном квадрате. Оператор А равен
На сетке
и определим операторы
Пусть
так как
(см. гл. IV). Таким образом,
т. е. мы получаем ту же асимптотическую оценку для числа итераций, что и в случае неявного метода переменных направлений Определение новых итераций из уравнения
имеет вид
откуда находим
Выбираем левый нижний угол области и берем пограничный узел, такой, что и лежат на границе сетки
значение 6. Факторизованный оператор В с перестановочными операторамиПусть
Кроме того, мы предполагаем, что операторы
Рассмотрим схему (23) с факторизованным оператором
где
Наша задача — определить постоянные
Для этого надо использовать результаты п. 4, где рассматривалась задача
(схема (40) с Используем теорему 3 для вычисления постоянных
Из (58), в силу теоремы 3, следует оценка
где Теорема 5. Пусть выполнены условия (58), (59), (45). Тогда итерационная схема (23) с факторизованным оператором (60) при оптимальных значениях
где
Замечание. Так же, как и в теореме 3, вместо условия
Пример 1. Рассмотрим тот случай, когда регуляризатор
Тогда
и скорость сходимости итерации (ср. с п. 5)
Пример 2. Рассмотрим случай, когда
Вычисления дают
Скорость сходимости
Сравнение с примером 1 показывает, что число итераций в случае смешанной задачи примерно в 1,5 раза больше.
|
1 |
Оглавление
|