Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
11. Локально-одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения второго порядка.Метод суммарной аппроксимации позволяет получить абсолютно устойчивые сходящиеся локально-одномерные схемы для уравнений гиперболического типа (см. А. А. Самарский [10], [12]). Рассмотрим уравнение
где
Требуется найти непрерывное в цилиндре
и начальным условиям
Как обычно, предполагается, что эта задача имеет единственное решение Относительно На отрезке построим Если При построении локально-одномерной схемы поступаем по аналогии с
где
Для аппроксимации производной с шагом
где
где Для аппроксимации Коэффициент оператора
так что Напишем теперь локально-одномерные схемы для гиперболических уравнений:
где
Уравнение (69) можно записать в виде
Определение что можно сделать методом прогонки, пользуясь краевым условием
Первое из начальных условий
Для вычисления промежуточных значений
если
если Остановимся более подробно на локально-одномерной схеме для случая двух измерений
Краевые условия имеют вид
Функция
где
где Рассмотрим погрешность
где
— погрешность аппроксимации для одного уравнения (66) номера Погрешность аппроксимации для локально-одномерной схемы (75) — (77) определяется как сумма
Покажем, что схема (76) аппроксимирует задачу (63) — (65) в суммарном смысле,
получаем
где
Отсюда следует:
Первое слагаемое, в силу уравнения (63), равно нулю:
Поэтому
т. е. схема
т. е.
Дальнейшие рассуждения, для упрощения изложения, проведем в предположении, что область
и сетка
В пространстве
Покажем, что схема (75) — (77) абсолютно устойчива и сходится, по крайней мере, со скоростью Решение задачи (78) представим в виде Найдем априорную оценку для учитывающую свойство суммарной аппроксимации (81). Умножим уравнение (78) для
Предположим далее, что
В результате получаем энергетические неравенства
Складывая эти неравенства, найдем
где
Используем теперь свойство (81) и преобразуем слагаемые
Подставляя сюда
получим
(см. скан) Подставим теперь выражение для
Тогда получим
где
Для решения неравенства (85) применим лемму 6 из гл. VI, § 1, согласно которой из (85) следует оценка
Если существует вторая производная по
Таким образом, для
где
Для выражения
имеет место оценка
где
На первом слое имеем тождества
Просуммируем (89) по
Учитывая затем неравенство
применяя лемму 6 из гл. VI, § 1 и полагая
где Объединяя оценки (86) и (91) для и о, приходим к следующей оценке для
где Из этой оценки следует, что локально-одномерная схема (75) — (77) сходится со скоростью
|
1 |
Оглавление
|