Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. Метод аппроксимации краевых и начальных условий.Из предыдущего пункта следует, что точность схемы зависит от порядка аппроксимации на решении исходной задачи не только уравнения, но и дополнительных условий (краевых или начальных) В этом пункте мы рассмотрим ряд примеров повышения порядка аппроксимации краевых и начальных условий без увеличения числа узлов сетки, участвующих в аппроксимации. Пример 1. Третья краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
Выбрав равномерную сетку
где
Первую производную
причем оператор
где
Разлагая
находим
так как
Подставляя (34) в (33), получим
т. е. выражение в левой части (35) аппроксимирует производную Отсюда и из (32) следует, что краевое условие
имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (29). Отметим, что нам удалось повысить порядок аппроксимации, не увеличивая числа узлов сетки, которые использовались для аппроксимации краевого условия. Пример 2. Третья краевая задача для уравнения теплопроводности:
На сетке
где Эта схема имеет аппроксимацию
Пользуясь уравнением теплопроводности при
т. е. выражение, стоящее слева, аппроксимирует производную Заменяя
Оно имеет аппроксимацию
вместо (39) следует взять условие
Пример 3. Гиперболическое уравнение второго порядка:
Очевидно, что при аппроксимации задачи (41) особое внимание следует обратить на запись в разностном виде начального условия для производной Пусть дана равномерная по Если мы воспользуемся простейшей аппроксимацией
то погрешность аппроксимации будет величиной
Обратимся теперь к исходному дифференциальному уравнению и найдем
так как
Поэтому разностное начальное условие
аппроксимирует на решении задачи (41) условие Условие Из предыдущего изложения следует, что при повышении порядка аппроксимации краевых и начальных условий мы существенно использовали существование и непрерывность производных, входящих в уравнение, на границе области (при Пример 4. Трехслойная разностная схема для уравнения теплопроводности. Рассмотрим первую краевую задачу
Для решения уравнения теплопроводности (42) часто применяются гак называемые трехслойные схемы, использующие значения сеточной функции Например, трехслойная симметричная схема на равномерной сетке
где Так как центральная разностная производная по Можно указать два способа задания
обеспечивающей определение
и подбираем
значение
Тогда получим
и, следовательно,
|
1 |
Оглавление
|