13. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках.

Для решения дифференциальных уравнений на практике часто используются разностные схемы на неравномерных сетках. В гл. I, § 1 для простейшего уравнения была рассмотрена схема на неравномерной сетке

и проведено изучение погрешности аппроксимации для этой схемы.

Чтобы получить однородную консервативную схему на неравномерной сетке ил, напишем на интервале где уравнение баланса

По аналогии с п. 5 проведем замену

После этого, так же как и в п. 5, получаем разностную схему

Эту схему будем называть, как и в случае равномерной сетки, наилучшей схемой.

Коэффициенты очевидно можно записать в виде

Введем обозначения (см. гл. I, § 1):

Рассмотрим трехточечную схему

Если заданы из и известны точки их разрывов, то всегда можно выбрать неравномерную сетку так, чтобы точки разрыва коэффициентов были бы ее узлами. Такую сетку, зависящую от конкретных функций будем обозначать Простейшие выражения для на как следует из (73), имеют вид

где и т. д. Впрочем, можно пользоваться и другими формулами, например:

В случае непрерывных коэффициентов из (75) следует

Если разрывы совпадают с потоковыми точками сетки то коэффициенты выберем следующим образом:

либо возьмем

Перейдем к изучению погрешности аппроксимации схемы (74) на неравномерной сетке Напишем уравнение для ошибки :

где погрешность аппроксимации.

Пользуясь уравнением баланса (71) по аналогии с п. 11 представим погрешность аппроксимации в виде

Для наилучшей схемы (72), в частности, имеем

Для простоты изложения рассмотрим сейчас погрешность аппроксимации для наилучшей схемы (72).

Предположим, что имеют разрыв первого рода в узле а при являются гладкими функциями. Выражение для перепишем в виде о

Учитывая, что для любой функции имеющей разрыв первого рода в точке верны формулы

находим

Для будем иметь

так как

Погрешность аппроксимации для схемы (74), (75) определяется по формулам (77). Воспользуемся формулами для

Отсюда и из (75), (77) находим

Преобразуем выражение

Учитывая затем формулу для получим

Таким образом, погрешность аппроксимации для схемы (74), (75) на специальной последовательности сеток имеет вид

Можно показать, что погрешность аппроксимации наилучшей схемы (72) на произвольной неравномерной сетке при любом положении точки разрыва коэффициентов

представима в виде (79), где

Введем обозначения

Из (79), (80) следует, что для погрешности аппроксимации схемы (74), (75) на специальной последовательности сеток и наилучшей схемы (72) на произвольной неравномерной сетке при любом положении точки разрыва справедлива оценка

где не зависит от сетки. Действительно:

Лемма 3. Для решения задачи (76) с правой частью на произвольной неравномерной сетке справедлива априорная оценка

Для доказательства леммы 3 по аналогии с п. 8 вводится разностная функция Грина для задачи (76) как решение уравнения

с однородными краевыми условиями

После этого устанавливаются оценки

и доказывается аналог теоремы 3 — лемма 3. Так как при этом никаких новых принципиальных вопросов не возникает, то нет необходимости воспроизводить рассуждения, приводящие к оценке (82). Из (81) и (82) следует

Теорема 5. Наилучшая схема (72) имеет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов

на произвольной последовательности неравномерных сеток. Схема (74), (75) имеет второй порядок точности-.

а) в классе гладких коэффициентов

на произвольной последовательности неравномерных сеток,

б) в классе разрывных коэффициентов

на специальных последовательностях неравномерных сеток

Укажем также, что и схема (74), (75) имеет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов на специальной последовательности сеток, когда точки разрыва коэффициентов совпадают с потоковыми точками

Единственной характеристикой точности является среднеквадратичный шаг

До сих пор рассматривались конкретные схемы (72), (74), (75). Рассмотрим теперь семейство схем (74), коэффициенты которых вычисляются при помощи тех же шаблонных функционалов

что и в случае равномерной сетки (см. п. 7). Формула для остается неизменной

Формулы для существенно усложняются в случае разрывных коэффициентов.

Введем сначала обозначения для ступенчатых функций:

так, что

Предположим, что

а) не зависит от значения в точке а зависит только от предельных значений справа и слева в этой точке, например,

Действительно,

Из условия следует, что так как

Коэффициент будем вычислять по формуле

где

В силу линейности и условия имеем

где Аналогично определяется коэффициент:

Если сетка равномерна, т. е. то формулы (84), (85) дают

Будем рассматривать семейство схем (74) с коэффициентами (83) — (85), предполагая, что выполнены условия п. 7 и а), б). Проверим для схемы (73) условие б):

Для схемы (75) имеем

При вычислении погрешности аппроксимации на сетке будем исходить из представления (77). Запишем

где

Аналогично

Учитывая, что

получаем

Точно так же находим

В частности, для схемы

Для погрешности аппроксимации определяемой по формуле (77), имеем

При вычислении было использовано равенство

Для наилучшей схемы из (86), (90) следует, что

Таким образом, погрешность аппроксимации для любой схемы из рассматриваемого семейства схем (74), (83) — (85) можно представить в виде

где определяется по формуле (77), по формуле (90). Из (91), (92) следует, что

Для погрешности и верна оценка (82). Из (82), (93) следует

Теорема 6. Любая схема из исходного семейства схем (74), (83) — (85) на любой последовательности неравномерных сеток в классе гладких функций

и на специальной последовательности неравномерных сеток для любых функций

имеет второй порядок точности:

где среднеквадратичный шаг, не зависящая от сетки.

Отметим, что любая однородная схема из исходного семейства в классе разрывных функций на произвольной последовательности сеток имеет первый порядок точности.

Замечание. Для доказательства сходимости схем на неравномерных сетках можно воспользоваться априорной оценкой для задачи (76):

где

либо

Эта оценка может быть получена энергетическим методом. Умножим уравнение (76) скалярно на

В силу первой формулы Грина имеем отсюда

Положим где либо Тогда

Подставим эту оценку в (96), учтем, что и выберем из условия минимума

Пользуясь теперь леммой 1 гл. I, § 2: получаем (95).