10. Погрешность аппроксимации в классе непрерывных коэффициентов.
Рассмотрим погрешность аппроксимации для схемы (25), (26):
В п. 6 были получены условия (27) второго порядка локальной аппроксимации для консервативной схемы (25). Эти условия выполнены, если
шаблонный функционал
имеет третий дифференциал и имеют место равенства
Из априорной оценки теоремы 3 видно, что порядок точности консервативной схемы определяется порядком не локальной, а суммарной (интегральной) аппроксимации
некоторой специальной норме
Ниже будет показано, что для суммарной аппроксимации
достаточно, чтобы вместо (27) выполнялись требования
Покажем сначала, что погрешность аппроксимации
можно представить в виде
где
Воспользуемся уравнением баланса (20), которое запишем в виде
Полагая
получим отсюда:
Вычитая это тождество из формулы (51), получаем (53).
Предположим теперь, что
и выполнены условия (52). Покажем, что
для всех
и, следовательно,
Учитывая, что и
находим
так как
Замечая затем, что
для
получаем