Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
20. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Постановка задачи и основные свойства.Задача Штурма — Лиувилля или задача на собственные значения состоит в следующем: требуется найти такие значения параметра X (собственные значения) при которых существуют нетривиальные решения (собственные функции) однородного уравнения
Здесь
где Если
Задача (204) — (206), как известно (см. Р. Курант и Д. Гильберт [1]), эквивалентна следующей вариационной задаче: на классе кусочно-гладких функций
найти минимум функционала
Этот минимум определяет наименьшее собственное значение
и достигается на первой собственной функции Остальные собственные значения
где
где Укажем некоторые известные свойства собственных функций и собственных значений (см. Р. Курант и Д. Гильберт [1]). 1. Задача Штурма — Лиувилля (204) — (206) для кусочно-непрерывных функций соответствуют собственные функции 2. Собственные функции 3. Собственные значения
где 4. Для собственных функций и их производных справедливы оценки
где Для случая Покажем, что оценки (211) имеют место и в случае кусочно-непрерывных и кусочно-дифференцируемых коэффициентов, точнее, при Без ограничения общности можно считать, что
Тогда уравнение (204) при
где Умножим уравнение (212) на
и пользуясь условиями сопряжения, получаем после интегрирования по частям
Проинтегрируем еще раз по
В результате получим
Таким образом, справедлива оценка
Отсюда и из предыдущих оценок следует:
так что
что и требовалось доказать. В процессе доказательства мы использовали кусочную непрерывность и кусочную дифференцируемость Перейдем к постановке разностной задачи на собственные значения. Введем на отрезке [0, 1] равномерную сетку
и аппроксимируем задачу (204), (205) при помощи однородной разностной схемы
где Будем предполагать, что
Таким образом, разностная задача Штурма — Лиувилля состоит в следующем: требуется найти такие значения параметра № (собственные значения), которым соответствуют нетривиальные решения уравнения (213), а также найти эти нетривиальные решения (собственные функции). Условия сопряжения, аналогичные условиям (206), в окрестности разрыва коэффициента Умножая (213) скалярно на у и учитывая формулу Грина (см. гл. I, § 2, п. 1), находим
где
а у — решение задачи (213). Пользуясь формулой Грина, нетрудно убедиться также в том, что разностная краевая задача (213) эквивалентна следующей вариационной задаче: найти минимум функционала
При этом число
есть наименьшее собственное значение, Собственное значение
Здесь
Разностная задача Штурма — Лиувилля (213) является чисто алгебраической задачей. Поэтому не представляет труда доказательство следующих утверждений. 1. Существует
которым соответствуют собственные функции
Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция. 2. Собственные функции
3. Справедливы оценки
где 4. Если
где
собственные значения выписываются в явном виде:
Функция
и, следовательно,
Далее, имеет место очевидное неравенство
из которого следует
Подставляя сюда полученную выше оценку для Перейдем к доказательству оценки (220). Пусть
Из условия нормировки
Далее, из условия
Тем самым, в силу произвольности х, доказаны неравенства (220). Условие нормировки Сходимость при Пользуясь методом Куранта, докажем сходимость схемы (213) в классе кусочно-дифференцируемых коэффициентов. Рассмотрим сначала случай первого собственного значения Пусть
Отсюда следует, что Пусть
при условии нормировки Лемма 5. Последовательность функций Доказательство, а) Если
Пользуясь неравенством Коши — Буняковского и ограниченностью
т. е. б) Из условия нормировки
По теореме Арцела, примененной к последовательности сеточных функций, существует некоторая подпоследовательность
Будем предполагать, что соответствующая числовая последовательность
В противном случае мы выбрали бы из нее сходящуюся подпоследовательность и ограничились бы рассмотрением только этой подпоследовательности. Лемма 6. Если для некоторой последовательности
то Доказательство. Пусть
и пусть
В силу принципа минимума
Отсюда, в силу произвольности Наша ближайшая цель — показать, что предельная функция Задача (213) эквивалентна разностному аналогу интегрального уравнения
где
дается формулой
В нашем случае следует формально положить Если воспользоваться функцией Грина
то задачу (213) можно свести к уравнению
В п. 9 было выписано явное выражение для
так, что
Совершим в (228) предельный переход при
Отсюда, по определению функции Таким образом, мы доказали, что последовательность
Приведенные выше рассуждения относились к наименьшему собственному значению В случае других собственных значений Следует отметить, что мы исследуем собственные значения И собственные функции номеров При изучении задачи Штурма — Лиувилля для простейшего оператора
Их число равно числу Сравнивая
т. е. Всюду мы предполагаем, что номер
Поэтому для определения собственных значений высокого порядка требуется очень мелкая сетка. Для
|
1 |
Оглавление
|