4. Запись разностного уравнения в канонической форме.
Рассмотрим
-точечную схему
в регулярном узле:
Перепишем это уравнение в виде
Остановимся на случае двух измерений. Из рис. 8 видно, что в регулярном узле
Пусть узел
нерегулярен. В случае, соответствующем рис. 15, а), имеем
Из уравнения
находим
В случае, соответствующем рис, 15,в), будем иметь
где
Пусть
сетка в
-мерной области и нерегулярный узел. Тогда
Подставляя это выражение в уравнение
и формально считая, что х нерегулярен по всем
получим
Если х регулярен по некоторому направлению
то в этой формуле следует положить
Если же
регулярный по всем
узел, то полагаем
для всех
что дает формулу (32). Сравнивая (32) и
(34), видим, что эти уравнения можно записать в канонической форме
где
множество
узлов
-точечного шаблона «крест» с центром в точке х, исключая сам узел х, т. е.
множество
будем называть окрестностью узла
заданные коэффициенты уравнения. Из (32) и (34) видно, что
К уравнению (35) следует присоединить граничное условие
Разностная задача Дирихле является частным случаем более общей задачи: найти сеточную функцию
определенную на
и удовлетворяющую на
уравнению
где
Замечание. Третья разностная краевая задача для уравнения Пуассона приводится также к виду (38), причем уравнение (38) выполнено для всех
и имеют место условия (39); кроме того, требуется, чтобы
на
Для доказательства существования и единственности решения задачи (38), (39) достаточно убедиться в том, что однородное уравнение
имеет только тривиальное решение
Этот факт, как будет показано ниже, следует из принципа максимума, который имеет место для схем (38), (39).