Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава II. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИВ этой главе изучаются разностные схемы для простейших нестационарных уравнений: одномерного уравнения теплопроводности и уравнения колебаний струны. Построены двухслойные и трехслойные схемы с погрешностью аппроксимации § 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентамиДля выяснения методов построения разностных схем в случае нестационарных задач, а также методов их исследования рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. 1. Исходная задача.Процесс распространения тепла на прямой описывается уравнением теплопроводности (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6])
где квазилинейным). Если
где Без ограничения общности можно считать
В самом деле, вводя
В этих переменных уравнение (2) записывается в виде (3), причем 1, а Мы будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения (3) в прямоугольнике
Требуется найти непрерывное в
2. Семейство шеститочечных схем.Введем сетки
и сетку в
с шагами
Схему (4) будем называть иногда схемой с весами. Краевые и начальные условия аппроксимируем точно
Здесь
а
Разностную задачу, определяемую условиями Разностная схема (4) написана на шеститочечном шаблоне, состоящем из узлов
(см. рис. 5, в) с центром в точке
Краевые и начальные условия (5) и (6) пишутся в гранитных узлах сетки Множество узлов сетки От выбора параметра о, как мы убедимся в дальнейшем, зависят точность и устойчивость схемы (4). Рассмотрим схемы, соответствующие частным значениям о. При
или
определенную на шаблоне Если а
с краевыми условиями
Решение этой системы находится методом прогонки (см. гл. I, § 1, п. 9). Укажем еще две схемы. При
При
(называемую иногда схемой Кранка — Никольсона). Перейдем к выяснению вопросов о погрешности аппроксимации и точности схемы с весами (4). 3. Погрешность аппроксимации.Чтобы ответить на вопрос о точности схемы (4) — (6), нужно сравнить решение
Для оценки сеточной функции
Перейдем к безиндексным обозначениям, полагая (см. гл. I, § 1, п. 2)
Перепишем задачу (4) — (6) в виде
Найдем условия, определяющие
где
— погрешность аппроксимации схемы Напомним определение порядка аппроксимации (см. гл. I, § 1, п. 3). Схема Перейдем к оценке порядка аппроксимации схемы
Разложим
перепишем в виде
Подставляя сюда выражения
получим
Отсюда видно, что
Приравняем нулю выражение в квадратных скобках и найдем
При этом значении
схема
Эта формула удобней для вычислений. Пусть Схему Выбор правой части Из (13) видно, что погрешность
где а — любая постоянная, не зависящая от 4. Устойчивость по начальным данным.Исследуем устойчивость схемы
перепишем схему
Схема (16) устойчива, если для решения задачи (16) верна оценка
где
выражает устойчивость схемы (16) по начальным данным. Если
означает устойчивость схемы (16) по правой части. Оценка (17) для решения задачи (16) выражает устойчивость схемы (16) по начальным данным и по правой части. Решение задачи (16) представим в виде суммы
а у — решение неоднородного уравнения с начальным условием
Для исследования устойчивости схемы (16) по начальным данным надо найти оценку для решения задачи (16а). Для этого воспользуемся методом разделения переменных и получим оценку (18) в сеточной норме
Будем искать решение уравнения (16а) в виде произведения функций, одна из которых
Тогда получим
где
Для X получаем разностную задачу на отыскание собственных значений (разностную задачу Штурма — Лиувилля):
рассмотренную в гл. I, § 2, п. 2. Там было показано, что эта задача имеет нетривиальные решения — собственные функции
соответствующие собственным значениям
Собственные функции образуют ортонормированную систему
Имеет место равенство Парсеваля
где
Таким образом, задача (16а) имеет нетривиальные решения
Решение уравнения (16а) вида
видно, что при
при
и гармоника устойчива. Если все Выясним теперь, при каких значениях о выполняется условие или
выполнено при
Условие
и, следовательно, условие будет выполнено для всех
Таким образом, все гармоники Покажем, что из устойчивости схемы (16а) на каждой гармонике (из спектральной устойчивости) следует ее устойчивость в сеточной норме
Общее решение задачи (16а) ищем в виде суммы частных решений вида (22), полагая
Подставляя сюда
Если
Таким образом, для решения задачи (16а) верна оценка
т. е. схема (16) устойчива в сеточной норме Разностная схема называется условно устойчивой, если она устойчива лишь при наличии связи между Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Явная схема
Явная схема устойчива лишь при условии (25), связывающем шаги 2. Неявная схема при а 3. Схема повышенного порядка аппроксимации
при любых 4. Неявные схемы с 5. Схема (16) с Таким образом, параметр а управляет не только порядком аппроксимации, но и устойчивостью схемы (16). При исследовании устойчивости мы фактически имели дело только с двумя временными слоями 5. Устойчивость по правой части.Покажем, что условие (23)
достаточно для устойчивости схемы (16) и по правой части при
Правую часть
Подставляя (26) и (27) в (166) и учитывая, что
Отсюда, в силу ортогональности системы собственных функций следует, что выражение в фигурных скобках равно нулю, т. е.
Подставим (28) в (26):
Пользуясь неравенством треугольника
или
Пусть одновременно выполняются условия
Тогда
Суммируя по
так как Оценка (31) получена при условии (30). Откажемся теперь от требования
где
т. е.
Если Если выполнены условия
то схема (16) устойчива по начальным данным и по правой части, так что для решения задачи (16) справедлива оценка
Если
где
Для схемы 6. Сходимость и точность.Сходимость схемы
Отсюда видно, что верна теорема: Если схема Подставляя в (36) оценки из п. 3 для погрешности аппроксимации, получаем, что
До сих пор всюду шла речь об устойчивости и сходимости в среднем, т. е. в сеточной норме Для получения равномерной оценки решения разностной задачи (16) можно воспользоваться одним из трех методов: 1) принципом максимума, 2) энергетическим методом, который позволяет установить (при помощи теорем вложения) устойчивость в С по правой части, 3) представлением решения в «интегральной» форме через сеточную функцию мгновенного точечного источника (функцию Грина). Принцип максимума позволяет доказать равномерную устойчивость при дополнительном условии
Отсюда видно, что схема с опережением Методом функции Грина С. И. Сердюковой [2], [3] доказана равномерная устойчивость но начальным данным симметричной схемы 7. Метод энергетических неравенств.Используем описанный в гл. I метод энергетических неравенств для исследования устойчивости схемы с весами Проиллюстрируем этот метод сначала на примере дифференциального уравнения. Рассмотрим задачу
Введем скалярное произведение и норму
где
Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая равенство
Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши — Буняковского и
при
Используя эту оценку, получим
откуда, после интегрирования по
Учитывая затем, что
Получим теперь аналогичную оценку для разностной задачи (16). Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы
Пользуясь тождествами
перепишем (166) в виде
Умножим уравнение (38) на
Пользуясь разностной формулой Грина (см. гл. I, § 2)
при
Подставив эти выражения в (39), получим энергетическое тождество
Оно справедливо при любых
и покажем, что
Итак, пусть а
в силу (42). Отсюда и из (40) следует энергетическое неравенство
Если Однако нас интересует устойчивость по правой части. Пусть
Покажем, что
В самом деле,
Подставляя (44) в (40), получим энергетическое неравенство
Воспользуемся теперь неравенством Коши — Буняковского и е-неравенством:
После подстановки (46) в (45) будем иметь
Просуммируем по
Согласно лемме 1, гл. I, § 2 имеем
Применим эту оценку к задаче (III):
Отсюда следует равномерная сходимость схемы (II):
Для явной схемы
В самом деле, запишем явную схему в виде
Если
или
Таким образом, явная схема равномерно устойчива по начальным данным и правой части, если 8. Краевые условия третьего рода.Краевые условия первого рода, которые мы рассматривали до сих пор, удовлетворяются на сетке точно. В гл. I было показано, как аппроксимировать третье краевое условие для схемы с опережением
Разностное краевое условие будем писать на четырехточечном шаблоне, состоящем из узлов
где
где
— погрешность аппроксимации условия (50) разностным условием (51). Разлагая и в окрестности узла
Подставим сюда
Отсюда видно, что
Нетрудно проверить, что краевое условие при
аппроксимируется с тем же порядком разностным условием
где
Выбирая
и заменяя, соответственно,
запишем разностные краевые условия (51) и (55) в том же виде, что и схему (II):
где При Приведем условие (51) к счетному (т. е. удобному для вычислений) виду. Разрешая (51) относительно
Условие (55) приводится к виду
Отсюда видно, что Устойчивость схемы 9. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.Одной из первых схем, применявшихся для численного решения уравнения теплопроводности
где
Эта схема, как нетрудно убедиться, имеет второй порядок аппроксимации по
Если в правой части уравнения (60) заменить
которая остается явной относительно
где
В самом деле, преобразуем правую часть уравнения (61):
Подставляя это выражение в (61), получаем (62). Таким образом, схема «ромб» получается из схемы Ричардсона добавлением к левой части (61) члена
Отсюда видно, что схема «ромб» обладает условной аппроксимацией
- Если взять
Обычно для уравнения (3) используются неявные трехслойные схемы с весами: а) симметричные схемы
б) несимметричные схемы
Уравнения (63) и (64) содержат три слоя
где
Иногда для определения
то симметричная схема (63) при любом а имеет второй порядок аппроксимации по
Отсюда видно, что и для схемы (64)
Выписывая в (65) члены
Для определения у из (63) и (64) получаем трехточечные уравнения
с правой частью Устойчивость трехслойных схем доказывается в гл. VI. Приведем лишь достаточные условия устойчивости:
Так же, как и в случае двухслойных схем, можно построить разностные краевые условия повышенного порядка аппроксимации для граничных условий третьего рода (50), (54). Для симметричной схемы (4) краевые условия порядка аппроксимации
где
Выпишем, далее, разностные краевые условия третьего рода для несимметричной схемы (64):
Эти краевые условия имеют аппроксимацию
Если при этом
то получим схему (64), имеющую аппроксимацию
|
1 |
Оглавление
|