Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫОсновное содержание главы — теория однородных разностных схем для одномерных уравнений с переменными коэффициентами:
Главное внимание уделяется способам написания однородных разностных схем и исследования их аппроксимации и сходимости в случае разрывных § 1. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными коэффициентами1. Введение.В связи с широким применением вычислительных машин становится ясным, что нецелесообразно использовать разностные схемы и составлять программы, предназначенные лишь для решения отдельных задач частного вида. Необходимо иметь разностные схемы, пригодные для решения классов задач, определяемых заданием типа дифференциального уравнения, класса краевых и начальных условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты дифференциального уравнения. Такие универсальные разностные схемы должны, естественно, удовлетворять требованиям сходимости и устойчивости на любой последовательности сеток и для любой исходной задачи из рассматриваемого класса задач. Требование единообразия вычислительного алгоритма для решения класса задач приводит к понятию однородных разностных схем. Под однородной разностной схемой понимается разностная схема, вид которой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки. Во всех узлах сетки для любой задачи из данного класса разностные уравнения имеют один и тот же вид. Коэффициенты однородной разностной схемы определяются как функционалы коэффициентов дифференциального уравнения. Большой интерес, например, представляет отыскание однородных схем «сквозного» или «непрерывного» счета, пригодных для решения уравнения теплопроводности (диффузии) с разрывным коэффициентом теплопроводности (диффузии) по одним и тем же формулам (программам) без явного выделения точек или линий разрыва коэффициентов. Это значит, что схема в окрестности разрывов не меняется и вычисления во всех узлах ведутся по одним и тем же формулам, независимо от того, разрывен или непрерывен коэффициент теплопроводности. Использование однородных схем сквозного счета особенно важно в тех случаях, когда коэффициент теплопроводности вычисляется в результате приближенного решения других уравнений, что, например, имеет место при решении уравнений газодинамики в теплопроводном газе, когда коэффициент теплопроводности зависит от плотности и терпит разрывы на ударных волнах. Для теории разностных схем необходимо задать исходное семейство схем. Общий способ задания семейства однородных разностных схем был указан в работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1]. Коэффициенты однородной разностной схемы выражаются через коэффициенты исходного дифференциального уравнения при помощи некоторых так называемых шаблонных функционалов, произвол в выборе которых ограничен требованиями аппроксимации, разрешимости, устойчивости и др. Семейство однородных разностных схем задано, если указано семейство допустимых шаблонных функционалов схемы. Поясним это в возможно более простой ситуации. Будем рассматривать разностные операторы над функциями одного переменного
где
с шагом
некоторые шаблонные функционалы, зависящие, вообще говоря, от параметра
Опуская индекс
Целью теории однородных разностных схем является отыскание (в исходном семействе) схем, пригодных для решения возможно более широкого класса задач, а также выделение наилучших схем (например, по порядку точности, по объему вычислений и др.). В этом параграфе мы дадим изложение основных вопросов теории однородных разностных схем для одномерной стационарной задачи теплопроводности с переменными коэффициентами
и уравнения колебаний
2. Исходная задача.Рассмотрим первую краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности или диффузии
Эта задача имеет решение, если
(температура При
Если, например, Мы проведем основное изложение для первой краевой задачи. 3. Трехточечные схемы.На отрезке [0,1] введем равномерную сетку
с шагом
При написании схемы, аппроксимирующей уравнение (1), возьмем трехточечный шаблон
где
где Пусть на шаблоне
для любых функций
то схема (2) называется однородной. Отсюда видно, что, если, например, задан функционал Если схема (2) однородна, то индекс
где
Семейство однородных схем задано, если задано семейство шаблонных функционалов Вычислим локальную погрешность аппроксимации схемы (4):
где
Для разрешимости задачи (4) достаточно (см. гл. I, § 2, п. 9), чтобы
Приведем два примера разностных схем второго порядка аппроксимации для задачи (1):
где Нетрудно видеть, что для каждой из этих схем выполнены условия (5), если В дальнейшем для упрощения изложения, будем предполагать, что шаблонные функционалы не зависят от параметра
где Будем рассматривать семейство схем, для которых выполнены условия (5), (6), (9). Нас интересуют схемы, сходящиеся в случае разрывных
|
1 |
Оглавление
|