17. Коэффициентная устойчивость разностных схем.

При решении задачи для дифференциального уравнения может оказаться, что коэффициенты уравнения заданы не точно, а приближенно (находятся при помощи некоторого вычислительного алгоритма, в результате физических измерений и т. п.). Коэффициенты однородной разностной схемы являются функциоиалами от коэффициентов дифференциального уравнения. Погрешность в определении коэффициентов схемы может быть вызвана несколькими причинами; погрешностью в вычислении шаблонных функционалов, погрешностью в задании коэффициентов дифференциального уравнения, ошибками округления.

Будем называть схему коэффициентно-устойчивой (ко-устойчивой), если при малом возмущении коэффициентов схемы решение краевой задачи меняется также мало,

Пусть задана схема с коэффициентами

Рассмотрим эту же схему с возмущенными коэффициентами (для упрощения считаем граничные значения невозмущенными)

Будем предполагать, что выполнены условия

не зависит от сетки.

Оценим разность через величины возмущения коэффициентов. Подставляя в (127) и учитывая (126), получаем

где

Решение задачи (129) представим в виде

где функция Грина разностного оператора (см. п. 8):

Подставим в (131) выражение для из (130) и преобразуем каждое слагаемое в отдельности. Полагая получаем

Отсюда и из (132) следует оценка

где, как и раньше,

Пусть — функция Грина для задачи (126). Тогда

Здесь Введем также обозначение

Из двух последних неравенств и (132) получаем

Полагая, наконец, преобразуем выражение

Отсюда и из предыдущих оценок имеем

Из оценок следует

Теорема 7. Пусть и решения задач (126), (127) и выполнено условие (128). Тогда имеет место оценка

выражающая коэффициентную устойчивость задачи (126).

Оценку (136) можно заменить более грубой

Если

где при то схемы (126) и (127) ко-эквивалентны и при имеют порядок ко-эквивалентности. Если схемы (126) и (127) ко-эквивалентны и схема (126) сходится, то и схема (127) сходится. Это следует из неравенства

Свойство ко-эквивалентности однородных схем (126) позволяет оценивать порядок точности данной конкретной схемы путем сравнения, согласно (136) или (137), ее коэффициентов с коэффициентами некоторой эталонной схемы, порядок точности которой известен.

Особенно удобно использовать в качестве эталонных схем усеченные схемы ранга и в частности схему нулевого ранга, имеющую второй порядок точности в классе кусочно-непрерывных коэффициентов: (см. п. 14). Эта схема записывается в виде уравнения (126) с коэффициентами

Подставляя эти выражения в (136), получаем

Коэффициенты как нетрудно заметить, являются величинами О (А):

Если же кусочно-непрерывны и кусочно-дифференцируемы и точка разрыва коэффициентов находится вне отрезка то

Если то незначительные изменения в предыдущих рассуждениях приводят к оценке (138), где следует заменить на а норму выражением

Тогда

Таким образом, неравенство (138) принимает вид

Отсюда следует, что наилучшая схема (23), (24) имеет второй порядок точности в классе коэффициентов