§ 3. Циклическая прогонка
Циклическая прогонка используется для нахождения периодического решения разностного уравнения (или системы разностных уравнений). Подобные задачи возникают при приближенном решении уравнений с частными производными в цилиндрических и сферических координатах. Рассмотрим систему уравнений
Такая алгебраическая задача возникает при отыскании периодического,
решения системы трехчленных уравнений
при условии
Относительно коэффициентов системы (1) будем предполагать, что
Систему (1) запишем в виде
где
а матрица
имеет вид
Присутствие отличных от нуля членов в правом верхнем и левом иижием углах матрицы
не позволяет решать (3) (или (1)) обычным методом прогоики.
Для решения (3) применяется идея метода окаймления
Фаддеев, В.
Фаддеева [1]). Запишем (3) в виде
где
Решение уравнения (5) представим в виде
где
решения задач
Поскольку матрица
является матрицей Якоби, то решения задач (10) могут быть найдеиы методом обычиой прогонки. Из (9) и (6) иаходим
находим из (9).
Приведем получающиеся формулы решения задачи
-формулы циклической прогонки:
Метод циклической прогонки является устойчивым, так как решения задач (10) ищутся методом прогонки, который устойчив при выполнении условий (2), а знаменатель
в выражении для
не обращается в нуль.
Действительно, из (2), (11) видно, что
Предполагая
получаем
Учитывая (12) и (14), находим
Из всего сказанного следует, что