Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
14. Точная схема. Схема любого порядка точности.
Для уравнения (1) можно построить однородную консервативную трехточечную схему, являющуюся точной, так что решение разностной задачи
совпадает в узлах любой сетки сол с точным решением
задачи (1):
Для удобства дальнейшего изложения перепишем (1) в виде
Отметим, прежде всего, что наилучшая схема (23), (24) при
является точной. В самом деле, решение задачи (97) при
Отсюда видно, что
где
следовательно, функция (98) удовлетворяет уравнению
Обратимся к уравнению (97). Пусть
равномерная сетка. Основная идея получения точной схемы состоит в том, что решение
уравнения (97) в любой внутренней точке (и, в частности, при
интервала
выражается через значения
и правую часть
В самом деле,
можно представить в виде
где
числа, и
линейно независимые решения однородного уравнения
(шаблонные функции),
частное решение неоднородного уравнения (97) при однородных условиях:
Определим шаблонные функции
как решения задач Коши:
Полагая в
найдем
Шаблонные функции обладают следующими свойствами:
1)
и монотонно возрастает при
и монотонно убывает при
2) имеет место равенство
3) справедливо соотношение
4) и, наконец,
Докажем эти свойства.
1) Свойство 1) непосредственно следует из (101) и (102).
2) Учитывая (101) и (102), имеем (при
3) Напишем формулу Грина на отрезке

(кликните для просмотра скана)