Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Методы построения аддитивных схем.Пусть дано многомерное уравнение
где Для построения экономичных методов основную роль играет возможность представления оператора
Естественно возникают вопросы: 1) Как построить экономичную аддитивную схему для уравнения 2) Как оценить порядок точности этой схемы? Попытаемся ответить сначала на первый вопрос Укажем общий подход, позволяющий получать схемы, обладающие суммарной аппроксимацией. Уравнение (7) или
перепишем в виде
где Введем на отрезке
с шагом х. Каждый полуинтервал
Обозначим
полагая
Каждое из уравнений (9) номера а заменим разностной схемой
(аппроксимируя и Схема (11) аппроксимирует уравнение (9) номера а в обычном смысле, так что, например,
стремится к нулю (в некоторой норме) при стремлении к нулю шагов Система разностных уравнений (11) является аддитивной схемой для задачи (7). В самом деле, пусть
Представляя
и учитывая, что
а
т. е. аддитивная схема (11) обладает суммарной аппроксимацией, если каждая из схем (11) номера а аппроксимирует в обычном смысле соответствующее уравнение (9). Этот факт объясняется тем, что система дифференциальных уравнений (9) аппроксимирует многомерное уравнение (7), (8) или В самом деле, погрешность аппроксимации для уравнения Так как
т. е. аддитивная система дифференциальных уравнений (9) аппроксимирует уравнение Суммарная погрешность аппроксимации для системы дифференциальных уравнений (9), (10) может быть определена также следующим образом:
Нетрудно заметить, что при таком определении
Из устойчивости системы (9) и суммарной аппроксимации следует сходимость решения задачи (9), (10) к Важно подчеркнуть, что суммарная аппроксимация для (9) и 1) оператор 2) правая часть Эти условия, очевидно, можно ослабить, потребовав, чтобы
Условие (8) используется при построении экономичных методов всеми авторами. Вопрос о близости решений задач (9), (10) и (7), (8) изучался Н. Н. Яненко [5]. Рассматривалась задача Коши в полупространстве
где Предполагалось, что оператор
(при условии достаточной гладкости Мы показали здесь один из простых способов получения аддитивных схем. Его удобство в том, что сначала многомерная задача заменяется цепочкой более простых задач для дифференциальных уравнений; при этом легко выясняется характер краевых условий для Прежде чем переходить к изучению сходимости и точности аддитивных схем, остановимся на вопросе о близости решений задач (7) и (9).
|
1 |
Оглавление
|