6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах.

Исследуем теперь в общих чертах вопрос о достаточных условиях устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах. Более детально это исследование будет проведено в гл. VI для случая, когда вещественное гильбертово пространство.

Всюду предполагается, что задача Коши (4) разрешима, т. е. существует обратный оператор Поэтому схему (4) можно записать в виде

где

оператор перехода. Оператор зависит от

Пользуясь рекуррентной формулой (15), найдем

где

Оператор называют разрешающим оператором. Неравенство треугольника дает

где любая норма в

Из (18) видно, что имеет место следующая Теорема 1. Для устойчивости схемы (15) достаточно, чтобы выполнялось условие

При этом для решения задачи (3) верна оприорная оценка

Заметим, что из (20) следует (12) при

Теорема 2. Для устойчивости схемы (3) достаточно, чтобы для нормы ее оператора перехода выполнялась оценка

где постоянная, не зависящая от При условии (21) верна априорная оценка (20) с

Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что из (21) следует (19):

Часто высказывается утверждение: «из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части». В каком смысле следует понимать это утверждение?

Будем говорить, что схема (4) равномерно устойчива по начальным данным, если устойчива задача Коши

при любом

где постоянная, не зависящая от

Если выполнено условие равномерной устойчивости, то для разрешающего оператора справедлива оценка (19). Следовательно, в силу теоремы 1, для решения задачи (4) выполнена оценка (20).

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Если схема (4) равномерно устойчива по начальным данным, то она устойчива и по правой части при условии согласования норм

При этом верна априорная оценка (20).

Заметим, что условие (21) достаточно для равномерной устойчивости по начальным данным.

Рассмотрим двухслойную схему с постоянным оператором перехода

Теорема 4. Пусть двухслойная схема (4) с постоянным оператором перехода устойчива по начальным данным с некоторой постоянной Тогда она устойчива и по правой части, причем и верна оценка (20) с той же постоянной

Доказательство. Согласно теореме 1, достаточно показать, что для любых Так -постоянный оператор, то

Из устойчивости схемы (4) по начальным данным следует, что при любых

т. е.

и, следовательно,

Сделаем выводы, необходимые для дальнейшего. 1. Если оператор перехода постоянен, то исследование устойчивости по начальным данным сводится к оценкам нормы оператора перехода.

2. Условие согласования норм для правой части и решения

является весьма жестким. Если где постоянная, не зависящая от то вместо (20) получим оценку

В гл. VI будут получены априорные оценки, для которых условие (24) согласования норм не требуется.

3. Схема (4) устойчива, если для всех При практическом использовании этого достаточного критерия устойчивости надо указать, какими свойствами должны обладать операторы для того, чтобы обеспечить выполнение условия (21). Такие условия найдены в гл. VI. Они имеют вид линейных операторных неравенств для операторов заданных на гильбертовом пространстве

Понятия аппроксимации, сходимости и точности для операторно-разностных схем вводятся по аналогии с § 1. Чтобы не загромождать изложение повторением формулировок, ограничимся лишь следующим замечанием. Нормы фигурирующие в § 1, надо заменить нормами