9. Априорные оценки.
Пользуясь формулой (31), найдем оценку решения задачи (29) через правую часть —
Для этого нам понадобятся равномерные оценки
и ее разностных производных
Сначала рассмотрим принцип максимума и его следствия для задачи (29).
В гл. I доказан принцип максимума для разностного уравнения
где
Нам потребуются следующие теоремы (см. гл. I, § 2, п. 5).
Теорема 1. Если
и выполнены условия (39), то решение задачи (38) неотрицательно,
Теорема 2. Пусть
и выполнены условия (39). Тогда имеет место оценка
Записывая уравнение (29) в виде (38), где
получаем, что если
то для задачи (29) справедливы теоремы 1 и 2.
Лемма 1. Для функции Грина
задачи (29) справедливы равномерные оценки
Доказательство. 1. Пусть
тогда а
находятся в явном виде
Так как
то из (37) сразу получаем
т. е.
2. Пусть
Полагая
где
функция Грина для случая получим
В силу теоремы 1 имеем
т.е.
Возьмем теперь разностную производную по
от обеих частей уравнения (44). Тогда для
получим уравнение
Пользуясь теоремой 2 для задачи (45), получим
Отсюда в силу формулы
следует
Лемма 1, доказана,
Лемма 2. Для решения задачи (29) с правой частью
верна оценка
Доказательство. Воспользуемся формулой (31), формулой суммирования по частям (гл. I, § 2, п. 1) и оценкой (43):
Теорема 3. Для решения задачи (29) справедлива оценка
где
либо
Если
имеет вид
то для решения задачи (29) выполняется неравенство
Доказательство. 1. Представим
в виде
или
Функция
определена с точностью до аддитивной постоянной. В силу леммы 2 имеем
Рассмотрим два случая.
т. е.
т. е.
2. Если
то функцию
представим в виде суммы
где
— решение задачи (29) с правой частью
Решение задачи (29) с правой частью
В силу (46) и (47) имеем
Отсюда и следует оценка (50).
Замечания. 1. Если
то
2. Из формулы (31) и леммы 1 следуют оценки
где
Нетрудно убедиться в том, что