3. Разностные аналоги теорем вложения.
В дальнейшем при оценке различных свойств разностных схем, таких как устойчивость, сходимость и т. д., нам понадобятся неравенства, которые соответствуют простейшим теоремам вложения С.
Соболева (см. С. Л. Соболев [2]). Докажем три леммы.
Лемма 1. Для всякой сеточной функции
заданной на сетке
и обращающейся в нуль при
справедливо неравенство
где
Доказательство. Функция
на сетке
может быть представлена в тождественном виде
С другой стороны, поскольку
можно записать:
или
Подставляя эти равенства в (25), находим
Оценим суммы в правой части, используя неравенство (23),
(здесь
Максимум выражения
на отрезке [0, 1] достигается при
и равен 1/4. Поэтому
и, следовательно,
Замечание 1. Лемма 1 остается справедливой на произвольной неравномерной сетке
Замечание 2. В дальнейшем нам потребуется также неравенство типа (24) для отрезка произвольной длины
Такое
неравенство нетрудно получить из (24) с помощью замены переменных
Тогда х будет меняться на отрезке
и
Подставим
в (24). В результате получим
Следовательно, на отрезке длины I справедливо неравенство
Замечание 3. Неравенства (24) и (26) получены для функций, обращающихся в нуль на обоих концах интервала. Если функция
обращается в нуль лишь на одной границе, то справедливо неравенство
Для произвольных функций неравенства (24), (26), (27), вообще говоря, неверны. Однако можно показать, что в этом случае имеют место неравенства следующего вида
Лемма 2. Для всякой функции
заданной на произвольной сетке
и обращающейся в нуль при
справедливо неравенство
В самом деле, легко проверить, что
Подставляя это неравенство в (26), получим (29).
В случае равномерной сетки оценка (29) может быть улучшена.
Лемма 3. Для всякой функции
заданной на равномерной сетке
и обращающейся в нуль при
справедливы оценки