Обратно, всякая матрица 
определяет линейный оператор.
Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированием базисе есть симметричная матрица.
Остановимся на свойствах собственных значений и векторов линейного самосопряженного оператора А. Собственным значением оператора А называется такое число 
, что существует вектор 
обладающий свойством 
Этот вектор называется собственным вектором, принадлежащим (соответствующим) данному собственному значению 
1. Самосопряженный оператор 
имеет 
взаимно ортогональных собственных векторов 
Будем считать, что все 
нормированы к единице. Тогда 
Соответствующие собственные значения расположим в порядке возрастания их абсолютных величин: 
2. Если линейный оператор А, заданный на 
имеет 
взаимно ортогональных собственных векторов, то А — самосопряженный оператор, 
3. Если 
то все собственные значения оператора А неотрицательны.
4. Произвольный вектор 
можно разложить по собственным векторам оператора 
5. Пусть 
(А самосопряжен и неотрицателен). Тогда 
и
где 
наименьшее и наибольшее собственные значения оператора А.
Норма самосопряженного неотрицательного оператора в 
равна его наибольшему собственному значению, 
6. Если самосопряженные операторы 
перестановочны, т. е. 
то они имеют общую систему собственных функций (доказательство см., например, И. М. Гельфанд [1]).
7. Пусть 
перестановочные 
самосопряженные операторы. Тогда оператор 
имеет ту же систему собственных функций, что и операторы 
и собственные значения
где 
и 
собственные значения номера 
операторов 
соответственно. Имеют место также равенства 
-мерное линейное пространство 
со скалярным произведением 
и нормой 
линейно независимых векторов 
образующих базис пространства 
Числа 
называются координатами вектора х. В качестве базиса всегда можно выбрать ортогональную и нормированную систему векторов 
т. е. такую, что
Каждому оператору А в базисе 
соответствует матрица 
размером 
где 
компонента вектора 
