Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
18. Однородные схемы для уравнения в цилиндрической и сферической системах координат.Рассмотрим уравнение более общего вида, чем (1):
К такому уравнению приводятся стационарные задачи диффузии с осевой симметрией При
При
Пусть 1) Если
2) Если 3) Второе, линейно независимое с Условия (140) и (141) выделяют единственное решение уравнения (139). В силу свойства 1) условие (140) можно заменить требованием
Разностную схему для уравнения (139) напишем так, чтобы при
где
Краевое условие при
Покажем, что разностное краевое условие
аппроксимирует условие (140) с порядком
Подставляя сюда
получаем
Из уравнения (139) имеем:
Так как
Отсюда и из формулы (147) следует, что
Разностное краевое условие (146) будем записывать в виде
Напишем условие для разности
где
погрешность аппроксимации схемы в классе решений Напишем уравнение баланса для (139):
Вычитая это тождество из (150), будем иметь:
По условию, при
Найдем разложения
где
Вычислим коэффициенты при
При
Так как
Отсюда и из (155) следует, что для
Для наилучшей схемы
и, следовательно
Аналогичные формулы получаются для
Из формулы (159) видно, что при
Простейшие формулы для
В этом случае В дальнейшем будем предполагать, что
так как
В результате для
причем
Перейдем теперь к выводу априорной оценки для решения задачи (149) с правой частью (163). Нам понадобится разностная функция Грина
Функция Грина
где
Отсюда видно, что Изучение свойств функции
Если
Отсюда следует, что
Покажем, что справедливы следующие оценки
где Из сказанного выше следует, что достаточно установить эти оценки для функции
Пользуясь известным неравенством
где
так как
Рассмотрим теперь выражение Так как
Далее, из определения
т. е.
Из формулы для Оценим скалярное произведение
Подставляя сюда оценки для
В самом деле,
Функция
так как
Решение задачи (149) при помощи функции Грина
В этом можно убедиться непосредственно путем подстановки выражения (170) в уравнение (149). Подставим в (170) выражение (163) для
Учитывая
Выберем наибольшую из постоянных
Так как Пусть теперь
Коэффициент
где При
Изложенным выше методом можно получить априорную оценку для Рассмотрим схему второго типа — «схему на потоковой сетке». Разобьем отрезок [0, 1] на
Пусть Для получения разностной схемы воспользуемся уравнением баланса для (139). Рассматривая уравнение баланса для интервала
где
Из уравнения баланса для интервала
и условия
где При
В результате получаем разностное уравнение (174) с краевыми условиями (176) и (177). Пусть
где
Отсюда и из уравнения баланса для интервала
где
Полагая
где
Вводя разностную функцию Грина при помощи условий
получим для
где
Подставляя сюда выражение для
В силу ограниченности
Отсюда и из оценок (179) следует, что схема
|
1 |
Оглавление
|