18. Однородные схемы для уравнения в цилиндрической и сферической системах координат.

Рассмотрим уравнение более общего вида, чем (1):

К такому уравнению приводятся стационарные задачи диффузии с осевой симметрией и с центральной симметрией

При ставится условие ограниченности (см. Добавление II в книге А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [6]), которое эквивалентно условию

При ставится обычное краевое условие, например,

Пусть линейно независимые решения уравнения (139) при и ограничено при Тогда справедливы свойства:

1) Если конечны, то

2) Если то производные ограничены при

3) Второе, линейно независимое с решение уравнения (139) имеет при логарифмическую особенность.

Условия (140) и (141) выделяют единственное решение уравнения (139). В силу свойства 1) условие (140) можно заменить требованием

Разностную схему для уравнения (139) напишем так, чтобы при она формально переходила в схему (25):

где

шаблонные функционалы, рассмотренные в п. 7.

Краевое условие при имеет вид

Покажем, что разностное краевое условие

аппроксимирует условие (140) с порядком на решении уравнения (139), удовлетворяющем условию (140). В самом деле, погрешность аппроксимации условия (146), очевидно, равна

Подставляя сюда

получаем

Из уравнения (139) имеем:

Так как при то и

Отсюда и из формулы (147) следует, что

Разностное краевое условие (146) будем записывать в виде

Напишем условие для разности где решение задачи решение задачи Подставляя получаем

где

погрешность аппроксимации схемы в классе решений исходной задачи.

Напишем уравнение баланса для (139):

Вычитая это тождество из (150), будем иметь:

По условию, при схема (143) принадлежит исходному семейству схем из п. 7, удовлетворяющих условиям второго порядка аппроксимации:

Найдем разложения по степеням . Подставляя выражение

где значение производной в некоторой средней точке интервала в формулу для получаем

Вычислим коэффициенты при При имеем

При имеем

Так как неотрицательный функционал, при то

Отсюда и из (155) следует, что для справедливы формулы

Для наилучшей схемы

и, следовательно

Аналогичные формулы получаются для Напишем теперь выражение для

Из формулы (159) видно, что при

Простейшие формулы для очевидно, имеют вид

В этом случае

В дальнейшем будем предполагать, что в нашей схеме определяются либо по этим формулам, либо по формулам (156) и (157) при условии, что Тогда погрешность аппроксимации в классе равна

так как

В результате для получаем формулу

причем

Перейдем теперь к выводу априорной оценки для решения задачи (149) с правой частью (163).

Нам понадобится разностная функция Грина которую определим как решение задачи (ср. с п. 8)

Функция Грина выражается формулой

где решения задач Коши:

Отсюда видно, что монотонно возрастает, а монотонно убывает.

Изучение свойств функции проводится по аналогии с сначала устанавливаются оценки для функции соответствующей случаю а затем применяется аналог леммы 1, в силу которого

Если то находятся в явном виде

Отсюда следует, что

Покажем, что справедливы следующие оценки

где положительные постоянные, зависящие только от

Из сказанного выше следует, что достаточно установить эти оценки для функции Рассмотрим сначала функцию

Пользуясь известным неравенством

где положительная убывающая функция, a и b — целые числа, суммирование ведется по целым получаем

так как

Рассмотрим теперь выражение

Так как монотонно убывающая функция, то при в силу (168), получим

Далее, из определения следует, что

т. е.

Из формулы для находим т. е.

Оценим скалярное произведение следующим образом:

Подставляя сюда оценки для пользуясь неравенством (168), получаем

В самом деле,

Функция принимает при наибольшее значение, равное а сумма оценивается так

так как В результате получаем

Решение задачи (149) при помощи функции Грина выражается формулой

В этом можно убедиться непосредственно путем подстановки выражения (170) в уравнение (149).

Подставим в (170) выражение (163) для и воспользуемся формулой суммирования по частям:

Учитывая получим:

Выберем наибольшую из постоянных и обозначим ее Тогда обе оценки можно объединить:

Так как при то схема сходится со скоростью при

Пусть теперь и -разрывные функции. Выберем неравномерную сетку так, чтобы точки разрыва функций были узловыми точками сетки. Разностная схема для задачи (139) — (141) будет иметь вид

Коэффициент определяются по формуле

где

При отсюда следует известная формула (см. п. 13)

Изложенным выше методом можно получить априорную оценку для и через погрешность аппроксимации из этой оценки следует, чтосхема (172) — (173) имеет второй порядок точности на сетке в классе разрывных коэффициентов

Рассмотрим схему второго типа — «схему на потоковой сетке». Разобьем отрезок [0, 1] на частей, введя узлы (потоковые точки):

Пусть значения искомой сеточной функции в этих узлах.

Для получения разностной схемы воспользуемся уравнением баланса для (139). Рассматривая уравнение баланса для интервала получаем

где

Из уравнения баланса для интервала

и условия следует разностное уравнение при

где определяются по формулам (175.

При ставится обычное условие

В результате получаем разностное уравнение (174) с краевыми условиями (176) и (177).

Пусть решение этой задачи. Для погрешности и получим следующую задачу:

где погрешность аппроксимации, равная

Отсюда и из уравнения баланса для интервала следует, что

где

Полагая при при получаем для следующую формулу:

где

Вводя разностную функцию Грина при помощи условий

получим для и следующее выражение:

где

Подставляя сюда выражение для находим:

В силу ограниченности получаем

Отсюда и из оценок (179) следует, что схема имеет второй порядок точности, если