19. Задача с условиями периодичности.
Рассмотрим сначала простейшую задачу: найти на отрезке решение уравнения
удовлетворяющее условию периодичности с периодом 1:
При этом предполагается, что
периодическая функция
Условие (181) в любой точке
эквивалентно двум условиям сопряжения в одной точке
Задача (180), (181) имеет единственное решение. Для ее решения, в силу принципа максимума, верна оценка
Пусть
Тогда получим задачу
которая разрешима при условии
и имеет единственное решение
при условии, что
В самом деле, общее решение уравнения
имеет вид
где
произвольные постоянные. Условия (182) дают
т. е. условиями (182) функция
определяется с точностью до постоянной
Требуя, чтобы выполнялось условие (185), получаем
т. е. выделяем единственное решение задачи.
Напишем разностную схему, аппроксимирующую задачу (180), (182). Возьмем на отрезке равномерную с шагом
сетку
и аппроксимируем уравнение (180) и условия сопряжения (182). Первое из условий (182) выполнено, если
В узлах
напишем трехточечное уравнение
Рассмотрим теперь разностные производные
Подставляя сюда
из (180), получаем
Отсюда видно, что уравнение
аппроксимирует второе условие сопряжения
с точностью до величины
Полагая затем
перепишем условие (188) в виде
Таким образом, задаче (180), (182) мы ставим в соответствие следующую разностную схему:
с условиями периодичности
Пусть теперь дано уравнение с переменными коэффициентами
причем
являются периодическими функциями
Будем предполагать, что
Требуется найти решение уравнения (191), удовлетворяющее условию периодичности
Это условие эквивалентно требованию
Из принципа максимума следует, что задача (192) — (194) имеет единственное решение. Напишем сначала схему для
полагая
Коэффициенты
выбираются из условий второго порядка аппроксимации (см. п. 7). Учитывая равенства
можно аппроксимировать условие
со вторым порядком следующим соотношением:
Требуя, чтобы выполнялись условия
перепишем это соотношение в виде
где
В результате получаем следующую периодическую разностную схему:
с условиями
Для определения
получаем следующую систему уравнений
с условием периодичности
Решение этой системы может быть найдено методом циклической прогонки (см. Дополнение, § 3).
Так как
то для задачи (195), (196) справедлив принцип максимума, в силу которого
Это неравенство позволяет получить для погрешности
и оценку
так как
при
Поэтому нужна более тонкая оценка, которую можно получить либо при помощи функции Грина, либо методом энергетических неравенств.
Введем скалярное произведение и норму
Оператор
в классе функций
, заданных при
и удовлетворяющих условию
является положительно определенным:
Умножим уравнение (195) скалярно на у.
Отсюда и из условий
следует единственность решения задачи (195), (196). В самом деле, пусть существуют два решения
Для их разности
получаем однородное уравнение (195) с
и тождество
Так как
отсюда следует, что
Преобразуем выражение
Для этого введем функцию
полагая
так что
Тогда сумма
преобразуется к виду
Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получаем
Подставим эту оценку в тождество (198):
или при
Положим
Тогда коэффициент в правой части принимает наименьшее значение:
Нам понадобится следующая
Лемма 4. Для любой сеточной функции
заданной на сетке
справедливо неравенство
где
любое число.
Доказательство. Так как
то имеет место равенство
Отсюда, на основании неравенства Коши — Буняковского, находим
Просуммируем это неравенство по
Лемма доказана.
Учитывая, что
ограничены снизу постоянной
из (199) получим
Положим в лемме 4 постоянную
Тогда из (200) и (201) найдем
Тем самым доказано, что для решения задачи (195), (196) справедлива априорная оценка
Для погрешности
, где
решение исходной задачи (191) -(194), у — решение задачи (195), (196), получаем условия
где
погрешность аппроксимации, которую можно представить в виде
Для
согласно (202), справедлива оценка
Так как
то тем самым доказано, что схема (195), (196) имеет второй порядок точности в классе