19. Задача с условиями периодичности.

Рассмотрим сначала простейшую задачу: найти на отрезке решение уравнения

удовлетворяющее условию периодичности с периодом 1:

При этом предполагается, что периодическая функция

Условие (181) в любой точке эквивалентно двум условиям сопряжения в одной точке

Задача (180), (181) имеет единственное решение. Для ее решения, в силу принципа максимума, верна оценка

Пусть Тогда получим задачу

которая разрешима при условии

и имеет единственное решение при условии, что

В самом деле, общее решение уравнения имеет вид где произвольные постоянные. Условия (182) дают

т. е. условиями (182) функция определяется с точностью до постоянной Требуя, чтобы выполнялось условие (185), получаем т. е. выделяем единственное решение задачи.

Напишем разностную схему, аппроксимирующую задачу (180), (182). Возьмем на отрезке равномерную с шагом сетку

и аппроксимируем уравнение (180) и условия сопряжения (182). Первое из условий (182) выполнено, если

В узлах напишем трехточечное уравнение

Рассмотрим теперь разностные производные

Подставляя сюда из (180), получаем

Отсюда видно, что уравнение

аппроксимирует второе условие сопряжения с точностью до величины Полагая затем

перепишем условие (188) в виде

Таким образом, задаче (180), (182) мы ставим в соответствие следующую разностную схему:

с условиями периодичности

Пусть теперь дано уравнение с переменными коэффициентами

причем являются периодическими функциями

Будем предполагать, что

Требуется найти решение уравнения (191), удовлетворяющее условию периодичности

Это условие эквивалентно требованию

Из принципа максимума следует, что задача (192) — (194) имеет единственное решение. Напишем сначала схему для

полагая

Коэффициенты выбираются из условий второго порядка аппроксимации (см. п. 7). Учитывая равенства

можно аппроксимировать условие со вторым порядком следующим соотношением:

Требуя, чтобы выполнялись условия

перепишем это соотношение в виде

где

В результате получаем следующую периодическую разностную схему:

с условиями

Для определения получаем следующую систему уравнений

с условием периодичности

Решение этой системы может быть найдено методом циклической прогонки (см. Дополнение, § 3).

Так как то для задачи (195), (196) справедлив принцип максимума, в силу которого

Это неравенство позволяет получить для погрешности и оценку

так как при Поэтому нужна более тонкая оценка, которую можно получить либо при помощи функции Грина, либо методом энергетических неравенств.

Введем скалярное произведение и норму

Оператор в классе функций , заданных при и удовлетворяющих условию является положительно определенным:

Умножим уравнение (195) скалярно на у.

Отсюда и из условий следует единственность решения задачи (195), (196). В самом деле, пусть существуют два решения Для их разности получаем однородное уравнение (195) с и тождество

Так как отсюда следует, что

Преобразуем выражение Для этого введем функцию полагая

так что

Тогда сумма преобразуется к виду

Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получаем

Подставим эту оценку в тождество (198):

или при

Положим Тогда коэффициент в правой части принимает наименьшее значение:

Нам понадобится следующая

Лемма 4. Для любой сеточной функции заданной на сетке справедливо неравенство

где любое число.

Доказательство. Так как

то имеет место равенство

Отсюда, на основании неравенства Коши — Буняковского, находим

Просуммируем это неравенство по

Лемма доказана.

Учитывая, что ограничены снизу постоянной из (199) получим

Положим в лемме 4 постоянную Тогда из (200) и (201) найдем

Тем самым доказано, что для решения задачи (195), (196) справедлива априорная оценка

Для погрешности , где решение исходной задачи (191) -(194), у — решение задачи (195), (196), получаем условия

где погрешность аппроксимации, которую можно представить в виде

Для согласно (202), справедлива оценка

Так как то тем самым доказано, что схема (195), (196) имеет второй порядок точности в классе