2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом пространстве.

Пусть -вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой. Будем рассматривать ограниченные линейные операторы, заданные на Введем ряд определений. Оператор А будем называть:

1) неотрицательным, если

2) положительным, если

3) полуограниченным снизу, если

где с — положительное число,

4) положительно определенным, если

где число.

Пусть А — произвольный неотрицательный оператор, Число назовем энергией оператора А. Будем сравнивать операторы по энергии. Если для всехх, то будем писать Неравенства в частности, можно заменить операторными неравенствами

где единичный оператор

Нетрудно убедиться в том, что введенное на множестве линейных операторов отношение неравенства обладает следующими свойствами:

1) из следует ,

2) из следует

3) из следует

4) если существует, то

Если А — линейный оператор, заданный на , то оператор А, также заданный на Я, для которого при всех выполнено равенство

называется сопряженным к оператору А.

Если -линейный ограниченный оператор, то сопряженный оператор определен однозначно и является линейным ограниченным оператором с нормой

Линейный ограниченный оператор А называется самосопряженным оператором, если т. е.

Если - любой линейный оператор, то и самосопряженные неотрицательные операторы:

Отметим, что

В комплексном гильбертовом пространстве из требования неотрицательности оператора А следует его самосопряженность:

Для вещественного пространства это утверждение неверно. Поскольку мы рассматриваем только вещественное гильбертово пространство, то будем пользоваться операторными неравенствами и для несамосопряженных операторов.

Теорема 2. Произведение двух перестановочных неотрицательных самосопряженных операторов есть также неотрицательный самосопряженный оператор.

Оператор В называется квадратным корнем из оператора А, если

Теорема 3. Существует единственный неотрицательный самосопряженный квадратный корень В из любого неотрицательного самосопряженного оператора А, перестановочный со всяким оператором, перестановочным с А.

Квадратный корень из оператора А будем обозначать через

Пусть А — положительный и самосопряженный линейный оператор. Вводя на линейной системе скалярное произведение и норму получим гильбертово пространство которое обычно называют энергетическим пространством Нетрудно показать, что скалярное произведение удовлетворяет аксиомам скалярного произведения: при только при

Аксиомы 2) и 3) выполняются в силу линейности, 4) — в силу положительности оператора А. Требование или означает самосопряженность оператора А и тоже выполнено. Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника Тем самым доказана

Лемма 2. Для любого положительного самосопряженного оператора в вещественном гильбертовом пространстве справедливо обобщенное неравенство Коши — Буняковского

Замечание. Это неравенство имеет место и в том случае, когда А — неотрицательный оператор.

Если А — самосопряженный положительный оператор и существует, то можно ввести «негативную» норму

Покажем, что

Действительно, из неравенства (9) имеем

Следовательно,

С другой стороны, если то

что и доказывает наше утверждение.

Для нас в дальнейшем важную роль будут играть достаточные условия существования ограниченного обратного оператора определенного во всем пространстве

Заметим, что лемма 1 и теорема 1 гарантируют существование обратного оператора, определенного лишь на множестве значений оператора А, которое может не совпадать с

Если известно, что множество значений оператора А совпадает со всем пространством то выполнение условий леммы 1 или теоремы 1 обеспечивает существование оператора . В частности, положительный оператор имеет обратный так как из условия для всех следует, что при и потому применима лемма 1.

Теорема 4 (см. Ф. Рисс и Б. Секефальви-Надь [1]). Пусть А — линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Для того, чтобы оператор А имел обратный с областью определения необходимо и достаточно существование постоянной такой, что при всех выполняются неравенства

При этом справедлива оценка

Следствие. Пусть А — положительно определенный линейный ограниченный оператор с областью определения Тогда существует ограниченный обратный оператор

В самом деле, из следует

т. е. и выполнены условия теоремы 4. Для нормы обратного оператора имеем оценку

Замечание. В конечномерном гильбертовом пространстве для существования обратного оператора достаточно требовать положительности оператора так как из условия следует существование постоянной такой, что для всех х. Действительно, где самосопряженный оператор. Поэтому где наименьшее собственное значение оператора Число не может равняться нулю в силу положительности оператора

Напомним, что норма оператора определяется так:

Если самосопряженный оператор, то имеет место формула

Лемма 3. Если линейный ограниченный оператор, целое число, то

Доказательство. Пусть Тогда

Пусть формула (12) верна для Покажем, что она верна для В самом деле,

Так как то отсюда следует С другой стороны, Таким образом Так как формула (12) верна при то она верна для любого

Лемма 4. Если А — самосопряженный положительный и ограниченный оператор, то справедлива оценка

Так как то существует оператор Полагая получим