Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом пространстве.Пусть 1) неотрицательным, если
2) положительным, если
3) полуограниченным снизу, если
где с — положительное число, 4) положительно определенным, если
где Пусть А — произвольный неотрицательный оператор,
где Нетрудно убедиться в том, что введенное на множестве линейных операторов 1) из 2) из 3) из 4) если Если А — линейный оператор, заданный на
называется сопряженным к оператору А. Если Линейный ограниченный оператор А называется самосопряженным оператором, если
Если
Отметим, что В комплексном гильбертовом пространстве
Для вещественного пространства Теорема 2. Произведение Оператор В называется квадратным корнем из оператора А, если Теорема 3. Существует единственный неотрицательный самосопряженный квадратный корень В из любого неотрицательного самосопряженного оператора А, перестановочный со всяким оператором, перестановочным с А. Квадратный корень из оператора А будем обозначать через Пусть А — положительный и самосопряженный линейный оператор. Вводя на линейной системе Аксиомы 2) и 3) выполняются в силу линейности, 4) — в силу положительности оператора А. Требование Лемма 2. Для любого положительного самосопряженного оператора в вещественном гильбертовом пространстве справедливо обобщенное неравенство Коши — Буняковского
Замечание. Это неравенство имеет место и в том случае, когда А — неотрицательный оператор. Если А — самосопряженный положительный оператор и
Покажем, что
Действительно, из неравенства (9) имеем
Следовательно,
С другой стороны, если
что и доказывает наше утверждение. Для нас в дальнейшем важную роль будут играть достаточные условия существования ограниченного обратного оператора Заметим, что лемма 1 и теорема 1 гарантируют существование обратного оператора, определенного лишь на Если известно, что множество значений оператора А совпадает со всем пространством Теорема 4 (см. Ф. Рисс и Б. Секефальви-Надь [1]). Пусть А — линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве
При этом справедлива оценка Следствие. Пусть А — положительно определенный линейный ограниченный оператор с областью определения В самом деле, из
т. е. Замечание. В конечномерном гильбертовом пространстве для существования обратного оператора Напомним, что норма оператора
Если
Лемма 3. Если
Доказательство. Пусть
Пусть формула (12) верна для
Лемма 4. Если А — самосопряженный положительный и ограниченный оператор, то справедлива оценка
Так как
|
1 |
Оглавление
|