3. Построение экономичных факторизованных схем.

В литературе описан ряд способов получения экономичных факторизованных схем.

1) Метод расщепляющегося оператора (см. Е. Г. Дьяконов [3]).

Строится факторизованный оператор например, где одномерные операторы, и рассматривается факторизованная схема

Оператор С выбирается так, чтобы схема (18) была устойчивой и обладала аппроксимацией.

2) Метод приближенной факторизации (см. Н. Н. Яненко [6], Г. И. Марчук и Н. Н. Яненко [1]).

Пусть дана схема с весами

Заменяя факторизованными операторами

перейдем от схемы (19) к факторизованной схеме

Эта схема аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, если схема (19) обладала этим свойством (порядок аппроксимации при переходе от (19) к (20) может измениться).

Оба предыдущих подхода характеризуются тем, что сначала пишется схема сложной структуры, а затем устанавливается ее устойчивость.

Наличие теорем гл. VI об устойчивости двухслойных схем позволяет формулировать общий метод построения устойчивых экономичных факторизованных схем (метод регуляризации, А. А. Самарский [8], [16], [20], [26], [27]). Пусть дана схема (1) с оператором

Достаточное условие устойчивости для нее имеет вид

Пусть схема (1) устойчива (т. е. выполнено условие и В — некоторый оператор, такой, что

Тогда и схема (1) с оператором В устойчива.

Пусть есть сумма конечного числа «экономичных» опера торов

Факторизуем оператор т. е. заменим его факторизованным оператором

и перейдем от исходной схемы (1) к факторизованной схеме

(при этом может оказаться необходимым для сохранения аппроксимации заменить на вблизи границы сеточной области).

Если схема (1) устойчива и являются самосопряженными неотрицательными и попарно перестановочными операторами, то факторизованная схема (22) также устойчива.

Для простоты положим Тогда так как (это следует из сделанных выше предположений относительно

Таким образом, т. е. факторизованная схема (22) устойчива.

Операторы следует выбирать так, чтобы выполнялось и условие аппроксимации.

Пример 1. Пусть требуется решить задачу (12) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами так, что

Соответствующий разностный оператор имеет вид

Обозначим

В пространстве (см. гл. V, § 1) сеточных функций, заданных на сон, имеем

В качестве возьмем операторы

так что

Условие устойчивости (21) будет выполнено, если взять (и даже Таким образом, трехточечные разностные операторы с постоянными коэффициентами. Факторизованная схема имеет, по крайней мере, первый порядок точности по

Пример 2. Пусть требуется решить первую краевую задачу для параболического уравнения со смешанными производными в параллелепипеде

В качестве снова выбираем операторы (25). Эти операторы в являются самосопряженными, положительными (при и попарно-перестановочными (так как область — параллелепипед). Полученная схема устойчива при условии а Так как трехточечные разностные операторы с постоянными коэффициентами, то алгоритм определения при заданном тот же, что и в предыдущем примере.

Пример 3. Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения теплопроводности. Рассмотрим задачу (12). Нетрудно убедиться в том, что схема

где

или

имеет в классе решений уравнения (12) погрешность аппроксимации

Факторизованная схема, очевидно, имеет вид

Покажем, что она абсолютно устойчива по начальным данным и по правой части и, следовательно, экономична.

При изучении устойчивости предполагаем, что Вводя как обычно операторы перепишем (28) в виде

где

Так как область прямоугольник, то перестановочны. Кроме того, Проверим условие Сначала заметим, что Учитывая неравенство получим

т. е.

Тем самым доказана устойчивость (29) в

В частности, в силу теоремы 8 из гл. VI, § 1 имеет место априорная оценка

Для погрешности — решение задачи верна оценка

где — погрешность аппроксимации на решении для факторизованной схемы (28). При переходе от (31) к (32) мы воспользовались тем, что и

так что

Из (32) следует, что схема (28) сходится в со скоростью