9. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона.
Исходя из схемы «крест», можно построить схему с погрешностью аппроксимации на решении
(или
в случае квадратной (кубической) сетки). Для повышения порядка аппроксимации используется тот факт, что
есть решение уравнения Пуассона
Проведем рассуждения для двумерного случая
когда
Рассмотрим разностный оператор
Пусть
имеет нужное по ходу изложения число производных. Тогда
Из уравнения
находим
так что
Подставим сюда
и заменим
разностным оператором
Этот оператор определен на девятиточечном шаблоне, изображенном на рис. 16.
Рис. 16.
Напишем выражение для
Погрешность аппроксимации
В самом деле,
где
некоторая средняя точка. Поэтому
Отсюда видно, что
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Заменяя в
на
получим
Из предыдущего следует, что уравнение
имеет четвертый порядок аппроксимации на решении
уравнения Пуассона (80). В самом деле, формула (83) дает
Оператор
определен на девятиточечном шаблоне (рис. 16) «ящик», состоящем из узлов
. Запишем схему (84) в виде
где
На квадратной сетке
это уравнение принимает вид
16).
Рассмотрим теперь разностную задачу Дирихле для схемы
в прямоугольнике
где
дается формулой (84).