8. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы.

Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Пусть задача (33) имеет единственное непрерывное в решение и существуют непрерывные в производные

Тогда схема (37), (38) равномерно сходится со скоростью (имеет первый порядок точности по х и второй порядок точности по так что

где не зависит от

Доказательство. Представим решение задачи (39) в виде суммы где определяется условиями

Отсюда находим для всех так как Для получаем

Для получаем задачу

где

Воспользуемся теперь теоремой 2 для оценки решения задачи (60). Так как при и при то

Рассмотрим В строго внутренних узлах

если существуют непрерывные производные

В приграничных узлах лгеюа имеем (для определенности считаем, что :

В п. 7 было показано, что в таком узле следовательно,

Учитывая затем, что

и получаем что и требовалось доказать. Из устойчивости по краевым данным и по правой части следует произвол в выборе (см. стр. 416).

Таким образом, мы провели исчерпывающее исследование локально-одномерной схемы.

Замечание. Схема (37), (38) была исследована в работе автора [7]. В приграничных узлах а значение можно определять при помощи интерполяции по направлению (ср. А. А. Самарский [4]), что соответствует требованию

Принцип максимума верен и в этом случае; имеет место теорема 2.

При оценке скорости сходимости локально-одномерной схемы функцию определяем так же, как и выше, полагая во всех внутренних узлах где

Тогда для получаем задачу

где

Дальнейшие рассуждения практически совпадают с рассуждениями, проведенными выше. В результате убеждаемся, что и в этом случае верна теорема 3, т. е. локально-одномерная схема равномерно сходится со скоростью где