Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи.Метод разделения переменных, известный в математической физике, используется и для исследования разностных задач. Применение этого метода позволяет расчленить исходную задачу, зависящую от нескольких независимых переменных, на более простые задачи, зависящие от меньшего числа переменных. При этом, как правило, по отдельным координатным направлениям возникают задачи на собственные значения. Такая же ситуация имеет место и в разностном случае. В этом пункте мы рассмотрим задачу на отыскание собственных значений для простейшего разностного оператора. Сведения, полученные здесь, потребуются нам в дальнейшем, так как использование метода разделения переменных приводит к задачам именно такого типа. В последующих главах будут приведены примеры использования этого метода для анализа устойчивости и сходимости конкретных разностных схем. Предварительно напомним основные факты (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]), связанные с простейшей задачей на отыскание собственных функций и собственных значений для дифференциального уравнения
Нетривиальные решения этой задачи — собственные функции
2. Собственные функции
где
3. Для производной от собственной функции имеет место равенство
откуда следует, что система
4. Если
где
причем
Поставим в соответствие дифференциальной задаче (13) разностную задачу
об отыскании нетривиальных решений — собственных функций задачи (14) и соответствующих собственных значений. Перейдем в (14) к индексной форме
Решение задачи (14) будем искать в виде
где а подлежит определению. Тогда
Подставляя полученное выражение в (15), получим
Так как мы ищем нетривиальные решения, т. е.
и далее
Значение параметра а выберем так, чтобы функция
Заметим, что при
откуда
Итак, мы получили собственные функции и собственные значения задачи (14). Перечислим их свойства.
2. Собственные значения
Из (17), в частности, следует, что все собственные значения задачи (14) положительны. 3. Собственные функции задачи
Для доказательства этого факта воспользуемся второй разностной формулой Грина, записанной для однородных краевых условий (10),
Так как по предположению
4. Норма собственной функции
Норма понимается в смысле скалярного произведения (5), определенного выше,
Проведем несложные преобразования
Для того, чтобы просуммировать в (19) ряд из косинусов, построим вспомогательную функцию, разностная производная от которой равна Используя очевидное равенство
имеем
Теперь сумму ряда косинусов определить несложно:
Учитывая полученные результаты, находим из (19) требуемое соотношение
образует ортогональную и нормированную в смысле скалярного произведения 5. Первые разностные производные от собственных функций, имеющие вид
ортогональны в смысле скалярного произведения
В том, что разностные производные от собственных функций имеют вид (21), можно убедиться, проводя простые вычисления:
Далее вычислим произведение
где 6. Пусть на сетке сол задана функция
где коэффициенты определяются соотношениями
При этом оказывается справедливым равенство
Докажем (22). В самом деле,
так как В дальнейшем изложении мы будем часто пользоваться неравенством
которое будем называть иногда
|
1 |
Оглавление
|