2. Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи.

Метод разделения переменных, известный в математической физике, используется и для исследования разностных задач. Применение этого метода

позволяет расчленить исходную задачу, зависящую от нескольких независимых переменных, на более простые задачи, зависящие от меньшего числа переменных. При этом, как правило, по отдельным координатным направлениям возникают задачи на собственные значения. Такая же ситуация имеет место и в разностном случае.

В этом пункте мы рассмотрим задачу на отыскание собственных значений для простейшего разностного оператора.

Сведения, полученные здесь, потребуются нам в дальнейшем, так как использование метода разделения переменных приводит к задачам именно такого типа.

В последующих главах будут приведены примеры использования этого метода для анализа устойчивости и сходимости конкретных разностных схем.

Предварительно напомним основные факты (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]), связанные с простейшей задачей на отыскание собственных функций и собственных значений для дифференциального уравнения

Нетривиальные решения этой задачи — собственные функции и отвечающие им собственные значения выражаются следующим образом:

2. Собственные функции образуют ортонормированную систему

где

3. Для производной от собственной функции имеет место равенство

откуда следует, что система также ортонормирована, т. е.

4. Если дважды дифференцируема и удовлетворяет однородным краевым условиям, т. е. , то она представима в виде равномерно сходящегося ряда

где

причем

Поставим в соответствие дифференциальной задаче (13) разностную задачу

об отыскании нетривиальных решений — собственных функций задачи (14) и соответствующих собственных значений. Перейдем в (14) к индексной форме

Решение задачи (14) будем искать в виде

где а подлежит определению. Тогда

Подставляя полученное выражение в (15), получим

Так как мы ищем нетривиальные решения, т. е. то из последнего равенства следует:

и далее

Значение параметра а выберем так, чтобы функция удовлетворяла граничным условиям задачи (14)

Заметим, что при граничное условие выполняется автоматически при любых а. При имеем:

откуда

Итак, мы получили собственные функции и собственные значения задачи (14). Перечислим их свойства.

2. Собственные значения перенумерованы в порядке возрастания и для всей совокупности справедливы следующие оценки:

Из (17), в частности, следует, что все собственные значения задачи (14) положительны.

3. Собственные функции задачи отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в смысле скалярного произведения, определяемого соотношением (5):

Для доказательства этого факта воспользуемся второй разностной формулой Грина, записанной для однородных краевых условий (10),

Так как по предположению и — собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, т. е. то из последнего равенства следует ортогональность

4. Норма собственной функции есть

Норма понимается в смысле скалярного произведения (5), определенного выше,

Проведем несложные преобразования

Для того, чтобы просуммировать в (19) ряд из косинусов, построим вспомогательную функцию, разностная производная от которой равна

Используя очевидное равенство

имеем

Теперь сумму ряда косинусов определить несложно:

Учитывая полученные результаты, находим из (19) требуемое соотношение Таким образом, набор сеточных функций

образует ортогональную и нормированную в смысле скалярного произведения систему:

5. Первые разностные производные от собственных функций, имеющие вид

ортогональны в смысле скалярного произведения определенного формулой (5) и, кроме того,

В том, что разностные производные от собственных функций имеют вид (21), можно убедиться, проводя простые вычисления:

Далее вычислим произведение

где при Здесь мы воспользовались разностной формулой Грина, а также тем обстоятельством, что функция является решением уравнения Итак, свойство 5 доказано.

6. Пусть на сетке сол задана функция причем Тогда, очевидно, она представим а в виде суммы по собственным функциям задачи (14)

где коэффициенты определяются соотношениями

При этом оказывается справедливым равенство

Докажем (22). В самом деле,

так как

В дальнейшем изложении мы будем часто пользоваться неравенством

которое будем называть иногда -неравенством. Из него, в частности, следует: