Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов.Пусть дан дифференциальный оператор производные разностными отношениями, мы получим вместо
или
где Изучение разностных аппроксимаций оператора В этом пункте рассматриваются примеры разностной аппроксимации для простейших дифференциальных операторов. Пример Фиксируем некоторую точку х оси
Выражение (1) есть правая разностная производная (ее мы будем обозначать
Рис. 4. Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производной
где а — любое вещественное число. В частности, при
Таким образом, оказывается, что можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих
(предполагая при этом, что функция
Отсюда видно, что
Пусть V — класс достаточно гладких функций
Таким образом, левая и правая разностные производные аппроксимируют Пример 2. Чтобы написать разностную аппроксимацию второй производной, надо использовать три точки трехточечный шаблон. В этом случае
Замечая, что правая разностная производная в точке х совпадает с левой разностной производной в точке
Пользуясь разложением функции
так как
Пример 3. Выберем пятиточечный шаблон, состоящий из точек
и определим
Нетрудно проверить, что
Разложение погрешности аппроксимации
Отсюда следует, что оператор
определенный на шаблоне В принципе такой процесс повышения порядка аппроксимации можно продолжить дальше и получить любой порядок аппроксимации в классе достаточно гладких функций применения, так как качество получающихся при этом операторов ухудшается (в смысле монотонности, условий существования обратного оператора, устойчивости и т. д.). Пример Пусть
Рис. 5. Остановимся сначала на аппроксимациях простейшего типа. Пусть шаблон состоит из четырех точек (рис. 5, а). Определим
Для упрощения записи разностных выражений весьма важным является вопрос о введении рациональной символики. Условимся о следующих обозначениях:
В этих обозначениях, например, разностная производная по
Учитывая (7) и (10), запишем (9) в виде
При построении Используя шаблон, изображенный на рис. 5, б, можно взять
Взяв линейную комбинацию (9) и (11), получим однопараметрическое семейство разностных операторов
определенных при Для оценки порядка разностной аппроксимации воспользуемся формулами
Подставляя эти выражения в формулы для
т. е.
т. е.
т. е.
Таким образом, оператор аппроксимирует Пример 5. В этом случае для записи разностного оператора
Рис. 6. Одна из возможных аппроксимаций (на шаблоне 6, в), использующая значение
где
Аналогично можно написать оператор
На девятиточечном шаблоне (рис. 6, г) можно написать двухпараметрическое семейство разностных операторов
При Отметим, что параметры Пример Пусть
и определим
Если
Учитывая разложение достаточно гладкой функции
получаем
(пользуемся тем, что Выражение для
Таким образом, оператор (16) на нерегулярном шаблоне
|
1 |
Оглавление
|