§ 3. Метод суммарной аппроксимации

1. Составные схемы. Суммарная аппроксимация.

Экономичные методы, рассмотренные в § 1 и § 2, характеризуются тем, что исходное многомерное дифференциальное уравнение аппроксимируется факторизованной разностной схемой. Решение разностной задачи для факторизованной схемы сводится к последовательному решению разностных задач более простой структуры. Так, в случае двух переменных применяются экономичные схемы вида

где и экономичные операторы (обычно это — одномерные операторы). Для продольно-поперечной схемы

для схемы расщепления

Принципиальным является требование эквивалентности задачи (1) факторизованной схеме

Эта эквивалентность имеет место не всегда, а лишь при согласованном задании правых частей и краевых значений для Кроме того, иногда требуется попарная перестановочность (см. § 2). Устойчивость факторизованной схемы имеет место, если перестановочны. Это выполняется только для областей специального типа.

Схемы, рассматриваемые в § 1 и § 2, применялись только для прямоугольных областей.

Между тем, очевидно, что схема расщепления и продольно-поперечная схема могут быть формально написаны для непрямоугольных областей сложной формы. Однако при этом возникают трудности с определением аппроксимации, заданием краевых условий и доказательством устойчивости. Чтобы преодолеть эти трудности (они, впрочем, как мы видели в § 2, имеются даже в случае прямоугольной области), оказалось необходимым провести пересмотр понятия разностной схемы и, прежде всего, отказаться от сведения системы уравнений (1) к факторизованной схеме (2) и от требования их эквивалентности. Это привело к новому понятию разностной схемы, к понятию аддитивной схемы (см. А. А. Самарский [4], [5], [7], [12], [19]).

Систему двух разностных уравнений (1), осуществляющих переход со слоя к слою будем называть составной схемой. Для составной схемы следует прежде всего дать определение аппроксимации, выяснить, в каком смысле она аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение.

Пусть — решение многомерного дифференциального уравнения. Вычислим погрешность аппроксимации на решении и для каждой из схем (1) соответственно. Назовем погрешностью аппроксимации составной схемы (1) сумму Требование аппроксимации для составной схемы (1) означает, что при где некоторая норма. При этом может оказаться, что

Составные схемы, погрешность аппроксимации для которых понимается как сумма погрешностей аппроксимации для промежуточных схем, будем называть аддитивными схемами.

Дадим общее определение аддитивной схемы Самарский [19], И. В. Фрязинов [4]).

В гл. V было введено понятие -слойной разностной схемы как разностного (по переменному уравнения

порядка с операторными коэффициентами:

где — линейные операторы, заданные на линейном нормированном пространстве Ни. Для определения решения надо задать начальных векторов

Назовем -слойной составной схемой с периодом от (порядка систему разностных уравнений с операторными коэффициентами

где с заданными начальными значениями (число слоев определяется числом начальных условий), причем принимает значения, равные

Чтобы найти по известным где надо решить систему уравнений с операторной матрицей размером

При составная схема переходит в написанную выше обычную -слойную схему. При получаем двухслойную составную схему с периодом

Если для составной схемы погрешность аппроксимации определяется как сумма погрешностей аппроксимации отдельных уравнений, то составная схема называется аддитивной схемой.

Двухслойная аддитивная схема может быть записана в каноническом виде:

где некоторые линейные операторы.

Экономичные аддитивные схемы характеризуются тем, что для них операторная матрица перехода является треугольной, так что систему уравнений (3) можно записать в виде:

Схема (1) соответствует частному случаю, когда матрица.

Пусть погрешность аппроксимации на решении и исходного уравнения для одного уравнения (3) номера а. Погрешность аппроксимации для аддитивной схемы (3) определяется как сумма

Нетрудно убедиться в том, что все экономичные методы, записанные в виде (3) и трактуемые как аддитивные схемы, обладают суммарной аппроксимацией.

Мы рассмотрим лишь простейшие примеры аддитивных схем вида