§ 2. Разностные схемы для уравнения колебаний струны

1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности аппроксимации.

Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]):

Вводя безразмерные переменные перепишем это уравнение в виде

В начальный момент заданы условия

(начальное отклонение и начальная скорость Концы струны движутся по заданным законам

Введем в области Опрямоугольную сетку (по аналогии с § 1, п. 2). Так как уравнение (1) содержит вторую производную по то число слоев не может быть меньше трех. Пользуемся, как и выше, обозначениями

Заменим производные, входящие в уравнение (1), по формулам

Рассмотрим семейство схем с весами

где определим ниже.

Краевые условия и первое начальное условие на сетке удовлетворяются точно. Выберем так, чтобы погрешность аппроксимации была величиной Из формулы

видно, что если положить

Таким образом, разностная задача поставлена. Для определения получаем из (4) краевую задачу

которая решается методом прогонки. Прогонка устойчива при (см. гл. I, § 1, п.9).

Вычислим погрешность аппроксимации схемы (4) при . Пусть у — решение задачи (4), (5), решение задачи

(1) -(3). Подставляя в (4), получим

где

— погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении -погрешность аппроксимации для второго начального условия Из предыдущего ясно, что

Учитывая, что имеем

т. е.

при любом значении постоянной о (о не зависит от

Выписывая в (7) члены получим

Отсюда видно, что при

схема (4) имеет повышенный порядок аппроксимации, Здесь постоянная, не зависящая от которая должна выбираться так, чтобы схема была устойчивой (достаточно потребовать , см. п. 2). Краевые условия третьего рода

аппроксимируются следующими разностными уравнениями

где

При этом погрешность аппроксимации краевых условий есть величина если

Если же и

то погрешность аппроксимации есть величина

2. Исследование устойчивости.

Перейдем к изучению устойчивости схемы (4) по начальным данным (при однородных краевых условиях и нулевой правой части уравнения). Для этого рассмотрим задачу

Ее решение будем искать методом разделения переменных. Для этого, по аналогии с § 1, п. 4, ищем частные решения вида После подстановки в уравнение (4а) получим

Отсюда и из краевых условий получаем для задачу на собственные значения

Она имеет решения

Из (9) для получим разностное уравнение второго порядка

или

которое перепишем в виде

Решения этого уравнения ищем в виде Для из (10) найдем квадратное уравнение (индекс k временно опускаем). Его корни равны Если то корни

комплексные и Введем новую переменную полагая

Тогда получим Общее решение уравнения (10) имеет вид

где произвольные постоянные.

Решение задачи (4а) ищем в виде суммы частных решений

Пусть коэффициенты разложений

Потребуем, чтобы сумма (11) удовлетворяла начальным условиям Тогда для определения и получим условия:

Отсюда находим

Подставив и в (11), после очевидных преобразований имеем

Получим сначала оценку для схемы (4а) при т. е. для схемы

При имеем

Потребуем, чтобы шаги сетки удовлетворяли соотношению

где — любое число. Тогда

(кликните для просмотра скана)

Итак, если выполнено условие (16), то для схемы (15) справедлива оценка

Эта же оценка имеет место и для схемы (4а), если потребовать, чтобы параметр удовлетворял условию

где любое число.

Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше доказательстве заменить всюду на

Для исследования устойчивости схемы (4) по правой части применим принцип суперпозиции. Рассмотрим задачу

Ее решение будем искать в виде

где как функция при фиксированном удовлетворяет однородному уравнению

краевым условиям

начальным условиям

где выбирается так, чтобы удовлетворялось неоднородное уравнение (46).

Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция Из определения следует, что

Подставим эти выражения в (23) и найдем

откуда получаем уравнение для

Перейдем теперь к получению оценки решения задачи (46) через правую часть Пусть выполнено условие устойчивости (21). Тогда для решения задачи (23) справедлива оценка (20), которая в данном случае имеет вид

Поэтому из (22), используя неравенство треугольника, получаем

Оценку для получим из уравнения (27). Разложим по собственным функциям

Подставляя (28) в (27), найдем так что при имеем

т. е.

Таким образом, если и выполнено условие (21), то для схемы (46) справедлива оценка

Для задачи при тех же условиях выполняется оценка

Интересно заметить, что при специальном выборе удается доказать устойчивость в схемы (15) при условии Приведенное ниже доказательство сообщил автору В. Б. Андреев.

Рассмотрим разностную схему

Согласно п. 1, задача аппроксимирует уравнение (1) — (2) с погрешностью

Выразим решение через Поступая как и ранее, найдем

где коэффициенты Фурье а величины мой, имеют тот же смысл, что и прежде.

Возводя (31) в квадрат и используя оценку имеем

Оценим снизу выражение Тогда

В гл. I было показано, что если

Поэтому, обозначив имеем

Итак, если то для решения задачи имеем оценку

3. Метод энергетических неравенств.

Исследование устойчивости разностных схем для уравнения колебаний можно провести и с помощью метода энергетических неравенств (см. § 1, п. 7). Ограничимся здесь изучением устойчивости по начальным данным.

Будем рассматривать задачу

Замечая, что

перепишем уравнение (32) в виде

где единичный оператор.

Умножим (33) скалярно на

Воспользовавшись очевидными тождествами

преобразуем левую часть равенства (34) следующим образом:

Покажем, далее, что для любых функций обращающихся в нуль при справедливо тождество

Действительно, из первой формулы Грина (см. гл. I, § 2, п. 1) следует, что

где и так как получаем (36),

Подставляя (35) и (36) в (34), получим следующее энергетическое тождество:

или

где

Найдем значения а, при которых величина неотрицательна для любых Для этого заметим (см. гл. I, § 2, п. 3), что

и поэтому

Следовательно, правая часть (38) будет неотрицательна, если потребовать

При этом выражение можно считать нормой (или, точнее, полунормой):

Заметим, что такие «комбинированные» нормы, зависящие от значений у на нескольких слоях, характерны для многослойных (и, в частности, трехслойных) схем.

Тождество (37) означает устойчивость по начальным данным в норме (40):

Итак, условие (39) достаточно для устойчивости схемы (32) по начальным данным в норме (40).

В частности, схема (32) с устойчива по начальным данным при условии

Это условие устойчивости, называемое иногда условием Куранта, было получено впервые в работе Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви [1].