Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Разностные схемы для уравнения колебаний струны1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности аппроксимации.Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]):
Вводя безразмерные переменные
В начальный момент заданы условия
(начальное отклонение
Введем в области
Заменим производные, входящие в уравнение (1), по формулам
Рассмотрим семейство схем с весами
где Краевые условия и первое начальное условие
видно, что
Таким образом, разностная задача
которая решается методом прогонки. Прогонка устойчива при Вычислим погрешность аппроксимации схемы (4) при (1) -(3). Подставляя
где
— погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении Учитывая, что
т. е.
Выписывая в (7) члены
Отсюда видно, что при
схема (4) имеет повышенный порядок аппроксимации,
аппроксимируются следующими разностными уравнениями
где
При этом погрешность аппроксимации краевых условий есть величина
Если же
то погрешность аппроксимации есть величина 2. Исследование устойчивости.Перейдем к изучению устойчивости схемы (4) по начальным данным (при однородных краевых условиях и нулевой правой части уравнения). Для этого рассмотрим задачу
Отсюда и из краевых условий
Она имеет решения
Из (9) для
или
которое перепишем в виде
Решения этого уравнения ищем в виде комплексные и
Тогда получим
где Решение задачи (4а) ищем в виде суммы частных решений
Пусть
Потребуем, чтобы сумма (11) удовлетворяла начальным условиям
Отсюда находим
Подставив и
Получим сначала оценку
При
Потребуем, чтобы шаги сетки удовлетворяли соотношению
где
(кликните для просмотра скана) Итак, если выполнено условие (16), то для схемы (15) справедлива оценка
Эта же оценка имеет место и для схемы (4а), если потребовать, чтобы параметр
где Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше доказательстве заменить всюду на
Для исследования устойчивости схемы (4) по правой части применим принцип суперпозиции. Рассмотрим задачу
Ее решение будем искать в виде
где
краевым условиям
начальным условиям
где Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция
Подставим эти выражения в (23) и найдем
откуда получаем уравнение для
Перейдем теперь к получению оценки решения
Поэтому из (22), используя неравенство треугольника, получаем
Оценку для
Подставляя (28) в (27), найдем
т. е.
Таким образом, если и выполнено условие (21), то для схемы (46) справедлива оценка
Для задачи
Интересно заметить, что при специальном выборе Рассмотрим разностную схему
Согласно п. 1, задача Выразим решение
где Возводя (31) в квадрат и используя оценку
Оценим снизу выражение
В гл. I было показано, что
Поэтому, обозначив
Итак, если
3. Метод энергетических неравенств.Исследование устойчивости разностных схем для уравнения колебаний можно провести и с помощью метода энергетических неравенств (см. § 1, п. 7). Ограничимся здесь изучением устойчивости по начальным данным. Будем рассматривать задачу
Замечая, что
перепишем уравнение (32) в виде
где Умножим (33) скалярно на
Воспользовавшись очевидными тождествами
преобразуем левую часть равенства (34) следующим образом:
Покажем, далее, что для любых функций
Действительно, из первой формулы Грина (см. гл. I, § 2, п. 1) следует, что
где
Подставляя (35) и (36) в (34), получим следующее энергетическое тождество:
или
где
Найдем значения а, при которых величина неотрицательна для любых
и поэтому
Следовательно, правая часть (38) будет неотрицательна, если потребовать
При этом выражение можно считать нормой (или, точнее, полунормой):
Заметим, что такие «комбинированные» нормы, зависящие от значений у на нескольких слоях, характерны для многослойных (и, в частности, трехслойных) схем. Тождество (37) означает устойчивость по начальным данным в норме (40):
Итак, условие (39) достаточно для устойчивости схемы (32) по начальным данным в норме (40). В частности, схема (32) с
Это условие устойчивости, называемое иногда условием Куранта, было получено впервые в работе
|
1 |
Оглавление
|