6. Метод переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле.

Рассмотрим в параллелепипеде

задачу Дирихле для уравнения Пуассона

где — граница параллелепипеда Введем в сетку

и исходной задаче поставим в соответствие разностную задачу

где у — граница сетки, множество внутренних узлов и

Если то это схема второго порядка точности; при схема четвертого порядка точности.

Доказательство равномерной сходимости решения задачи (92) к решению задачи (91) можно найти в работе В. Андреева [2].

В качестве итерационной схемы возьмем факторизованную двухслойную схему с двумя параметрами

где любая функция и

Укажем алгоритм для решения уравнения (95) с оператором (96). Последовательно решаются следующие три задачи.

1) Вдоль прямых, параллельных оси (при фиксированных решается уравнение

с краевыми условиями

2) Вдоль прямых, параллельных оси (при фиксированных решается уравнение

с краевым условием

3) Вдоль прямых, параллельных оси (при фиксированных решается уравнение

с краевым условием

Можно воспользоваться и другим алгоритмом:

При этом требуется помнить два вектора

Для погрешности получаем однородное уравнение

Операторы попарно перестановочны и имеют общую систему собственных функций

и собственные значения

так что Напишем выражения для

собственных значений оператора Л:

Выразим из через

где оператор перехода. Отсюда следует, что

где разрешающий оператор.

Так как все операторы, написанные выше, являются самосопряженными и попарно перестановочными, то

где

Пользуясь выражениями для получим

На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом (Г. Г. Харди, Д. Е. Литтльвуд, Г. Полна [1]) имеем

Найдем оценки снизу и сверху для

Отсюда видно, что т. е. при

Действительно,

Неравенство очевидно.

Теперь нетрудно показать, что при

справедлива оценка

где

Неравенство следует из (98). Учитывая (99), получим

Рассмотрим функцию

и потребуем, чтобы она была неотрицательна. Это имеет место при условии (100). В самом деле,

при

Оценка для более грубая:

Тем самым доказано, что

Лемма 5. Пусть даны два числа и причем Тогда наибольшее значение функции на отрезке равно

В самом деле, из выражения

видно, что при функция имеет минимум, а максимум ее достигается либо на левом, либо на правом конце отрезка

Наша задача состоит в минимизации нормы разрешающего оператора. Для этого используем циклический набор параметров (см. п. 4):

Параметры выбираем так, чтобы

где не зависит от границ операторов Из леммы 5 следует, что, если условие

выполнено хотя бы для одного при любых где и — наименьшее и наибольшее собственные значения оператора то как Для всех остальных будет, по крайней мере, выполнено неравенство

Отрезок покроем последовательностью интервалов полагая

Любое собственное значение принадлежит некоторому отрезку так что

Для определения потребуем, чтобы выполнялись условия

Отсюда следует

Число итераций в одном цикле определяется из условий (см. п. 4):

При таком наборе параметров

где зависит только от а.

Проводя циклов итераций с набором параметров получаем

Требование будет выполнено, если

Для общего числа итераций получаем оценку

Постоянные а следует выбрать из условия минимума коэффициента Нетрудно показать, что для минимизации параметры надо выбрать из условия

т. е.

а величину о взять возможно меньшей, т. е. при при Минимум как функции находится численно. При минимум достигается при и равен Если , то Так как то число итераций